29) Угол между двумя прямыми на плоскости.
Определение 1.
Углом между двумя прямыми
на плоскости называется угол между
любыми направляющими векторами этих
прямых. 
Согласно этому
определению каждый из двух смежных
углов
и
является углом между прямыми
и
.
Если прямые заданы общими уравнениями:
,
,
то взяв за направляющие векторы
и
,
получаем формулу
.
Поэтому:
1) прямые
и
перпендикулярны Û
;
2) если прямые
и
заданы угловыми коэффициентами
и
,
то они будут перпендикулярны Û
.
30) Взаимное расположение прямых на плоскости.
Пусть прямые и заданы уравнениями и .
Теорема 1.
1)
Прямые
и
параллельны Û
.
2)
и
пересекаются Û
.
3)
и
совпадают Û
.
31) Расстояние от точки до прямой на плоскости.
Определение
1. Рассмотрим
прямую d.
Расстоянием
от точки М до прямой d
называется длина перпендикуляра
,
опущенного из точки М
на прямую d.
Теорема 1.
Пусть прямая
d
задана уравнением
.
Тогда расстояние
точки
до прямой d
равно
.
Пусть заданы две
параллельные прямые
,
.
Как известно, расстоянием
между
ними называется расстояние от любой
точки одной прямой до другой прямой.
Возьмём точку
на прямой
,
т.е.
.
Тогда
.
32) Прямые в пространстве.
Подобно тому, как это делалось в плоском случае, для прямых в пространстве вводится понятие направляющего вектора и угла между двумя прямыми.
Введем в пространстве
СК OXYZ. Если прямая задана точкой
и
направляющим
вектором
,
то также, как и в случае прямой на
плоскости, получаем каноническое
уравнение прямой
и параметрические
уравнения прямой
Так же, как и в
плоском случае, из канонического
уравнения прямой можно получить уравнение
прямой, проходящей через две различные
точки
и
:
.
Пусть прямая d
определена точкой
и направляющим вектором
.
Обозначим через
расстояние от точки
до прямой d,
которое, как и в плоском случае,
есть длина
перпендикуляра
,
опущенного из точки М
на прямую d.
Т
еорема
1.
.
В прямоугольных координатах формула расстояния будет иметь вид
.
Напомним, что две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Если прямые нескрещивающиеся, т.е. лежат в одной плоскости, то они могут быть параллельными, пересекающимися и совпадающими.
П
усть
прямая
задана точкой
и направляющим вектором
,
а прямая
– точкой
и направляющим вектором
.
Составим матрицы
и
.
Пусть
– ранг
,
– ранг
.
Теорема 2.
1)
и
скрещивающиеся Û
;
2)
и
пересекаются Û
3)
Û
,
;
4)
.
Напомним, что общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называется отрезок, удовлетворяющий условиям:
1) один конец отрезка лежит на одной прямой, а другой - на другой;
2) прямая, содержащая отрезок, перпендикулярна каждой из двух прямых.
Можно показать,
что общий перпендикуляр к скрещивающимся
прямым
и
существует и его длина равна высоте
параллелепипеда, построенного на
векторах а,
b,
,
проведённой к основанию, построенному
на векторах а
и b.
Расстоянием
между скрещивающимися прямыми
и
называется длина общего перпендикуляра
к обеим прямым.
Теорема 3. Пусть прямые и скрещивающиеся, прямая задана точкой и направляющим вектором , а прямая – точкой и направляющим вектором . Тогда
.