15) Теорема Кронекера –Капелли (критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений).
Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений общего вида.
(1)
Наряду с матрицей системы
A=
рассмотрим так называемую расширенную матрицу
,
которая получается добавлением к матрице столбца свободных членов .
Теорема
1(Кронекера-Капелли).
Для того чтобы система (1) была совместной,
необходимо и достаточно, чтобы ранг
матрицы
был равен
рангу расширенной матрицы
=
.
16) Векторы.
Основы векторного исчисления были построены в середине 19 века ирландским математиком и астрономом Гамильтоном (1805-1865) и немецким математиком Грассманом (1809-1877), которые независимо друг от друга пришли к открытию векторных операций. В векторном исчислении векторы рассматриваются как особого рода алгебраические величины, над которыми производятся алгебраические операции. Изучение этих операций и составляет предмет векторной алгебры.
Определение 1. Скаляр- это любое действительное число.
Определение 2. Вектор – это направленный отрезок, т.е. отрезок прямой, у которого указано, какой конец отрезка является началом, а какой конец отрезка – концом вектора. В соответствии с этим считается, что вектор направлен от своего начала к своему концу.
Для обозначения
вектора, у которого точка А
– начало, а точка В
– конец, используется символ
.
Могут обозначаться
векторы и малыми буквами
или а.
О
пределение3.
Параллельным переносом
вектора
называется такое его преобразование,
при котором вектор
занимает положение
,
так что четырехугольник
есть
параллелограмм.
Приложить вектор к точке О – это значит произвести такой параллельный перенос этого вектора, чтобы его начало попало в точку О.
Определение 4.
Два вектора
а
и b
называются сонаправленными
(или одинаково
направленными),
если при приложении к одной точке они
лежат на одной прямой, а их концы находятся
по одну сторону от точки приложения.
Обозначают сонаправленность знаком
.
Очевидно, если
то
Определение 5.
Векторы а
и b
называются противоположно
направленными,
если при приложении к одной точке они
лежат на одной прямой, а их концы находятся
по разные стороны от точки приложения.
Обозначают противоположную направленность
знаком
.
Очевидно, если
то
Определение 6. Векторы называются коллинеарными, если они одинакого или противоположно направлены. Обозначают коллинеарность векторов знаком ||.
Очевидно, векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда они лежат на параллельных прямых.
Определение 7.
Вектор а
называется параллельным
прямой l
(
),
если при приложении к какой-либо точке
прямой l
вектор а
целиком лежит на l.
Определение 8. Векторы называются компланарными, если при приложении к одной точке они лежат в одной плоскости.
Определение 9.
Вектор а
компланарен
плоскости
p
(
),
если при приложении к какой-либо точке
плоскости p
вектор а
лежит на плоскости p.
Напомним, что длина отрезка есть положительное число, получаемое измерением этого отрезка с помощью некоторого заранее выбранного отрезка-единицы масштаба; отношение длин отрезков не зависит от выбора масштаба, и если векторы при выборе одной единицы масштаба имеют одинаковую длину, то и при выборе другой единицы масштаба они также будут иметь одинаковую длину.
Определение 10.
Длиной
(модулем)
вектора
называется длина отрезка, изображающего
тот вектор.
Определение 11. Два вектора называются равными, если у них равны длины и совпадают направления.
Таким образом, векторы будут равны, если при приложении к одной точке они совпадут.
В векторной алгебре приходится рассматривать также и нулевой вектор
Определение 12. Нулевым вектором 0 называется точка.
Направление нулевого вектора не определено, его длина равна 0. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору и компланарным любой плоскости. Часто нулевой вектор рассматривают как направленный отрезок, у которого начало и конец совпадают.
Определение 13. Ортом данного ненулевого вектора называется вектор, который направлен одинаково с данным вектором и имеет длину, равную единице.
Определение 14.
Углом между двумя ненулевыми векторами
называется меньшая часть плоскости,
ограниченная двумя лучами, исходящими
из одной точки и направленными одинаково
с данными векторами.Ясно, что радианная
мера
угла между двумя векторами всегда
заключена между
и
