33) Плоскость.
Определение 1. Вектор 0 называется перпендикулярным плоскости, если он перпендикулярен любому вектору, компланарному этой плоскости. Вектор, перпендикулярный плоскости, называется нормальным вектором (нормалью) этой плоскости.
Плоскость в пространстве можно задавать различными способами:
1) точкой плоскости и двумя неколлинеарными векторами, компланарными плоскости;
2) тремя точками плоскости, не лежащими на одной прямой;
3) точкой плоскости и ненулевым вектором, перпендикулярным плоскости.
Введем в
пространстве СК OXYZ.
Уравнение
Ax+By+Cz+D
,
где
,
называется уравнением первого порядка,
а поверхность, определяемая этим
уравнением – поверхностью первого
порядка.
Теорема 1. Поверхности первого порядка есть плоскости и только они.
Уравнение плоскости
вида
называется общим
уравнением плоскости.
Нетрудно видеть, что вектор
есть
нормаль плоскости, заданной уравнением
.
Е
сли
имеется плоскость
,
заданная точкой
и неколлинеарными векторами
и
,
компланарными этой плоскости, то точка
тогда и только тогда, когда векторы
и
компланарны.
Поэтому уравнение плоскости
есть
Векторы и образуют базис на плоскости . Разложив вектор по этому базису, мы получаем параметрические уравнения плоскости :
,
где
.
Если плоскость
задана тремя не лежащими на одной прямой
точками
,
,
,
то, взяв точку
и векторы
,
,
мы получим уравнение этой плоскости в
виде:
.
Е
сли
плоскость
задана вектором
и точкой
,
то точка
тогда и только тогда, когда
вектор
,
т.е.
.
Поэтому уравнение плоскости
есть
.
Исследуем расположение плоскости относительно системы координат.
Теорема 2.
Пусть плоскость p
задана уравнением
.
Тогда:
1)
проходит через начало координат.
2) Если
,
то
.
Аналогично, если
,
то
;
если
,
то
.
3) Если
,
то
,
т.е. плоскость
проходит
через ось OZ.
Аналогично, если
,
то
;
если
,
то
.
4) Если
,
то
.
Аналогично, если
,
то
;
если
,
то
.
5) Если
,
то
.
Аналогично, если
,
то
;
если
,
то
.
Пусть заданы две
плоскости
и
.
Возможны три случая взаимного расположения
плоскостей
и
:
1)
и
параллельны
,
т.е. не имеют общих точек;
2) и пересекаются, т.е. имеют общие точки, но не совпадают;
3)
.
Теорема 3.
1)
Û
.
2) и пересекаются Û нарушено одно из равенств в соотношениях .
3)
Û
.
В случае 2)
пересечения плоскостей пересечением
плоскостей будет прямая. Эта прямая
будет содержать любую точку
,
удовлетворяющую системе
,
а за направляющий вектор а
этой прямой можно взять векторное
произведение нормалей
и
плоскостей, т.е.
=
.
Как известно, углом
между плоскостями
и
называется любой из двух смежных
двугранных углов, образованных этими
плоскостями (в случае параллельных
плоскостей угол между ними можно считать
равным 0 или
по желанию). О
дин
из этих углов совпадает с углом между
нормалями
и
,
поэтому справедлива формула
,
т.е.
.
Условием перпендикулярности плоскостей
будет равенство
.
Расстоянием
от точки М
до плоскости p
называется длина перпендикуляра,
проведённого из точки М
на плоскость p.
Теорема 4. Расстояние от точки до плоскости p, заданной уравнением , определяется по формуле
.
Две параллельные
плоскости
и
можно задать уравнениями, отличающимися
только свободными членами:
,
.
Как известно, за расстояние
между параллельными плоскостями
принимают расстояние от какой-либо
точки одной плоскости до другой плоскости.
Используя только что полученную формулу,
нетрудно показать, что
.
Как известно, углом между прямой и плоскостью в случае, когда прямая и плоскость не перпендикулярны, называется любой из двух смежных углов между прямой и её проекцией на плоскость.
Т
еорема
5. Пусть
,
плоскость
задана уравнением
,
а прямая d-уравнением
.
Тогда
.
Рассмотрим вопрос о взаимном расположении прямой d и плоскости p.
Теорема 6. Пусть плоскость p заданная уравнением , а прямая d- уравнением . Тогда:
1) d лежит в плоскости
p
Û
,
.
2)
(т.е. не имеют общих точек) Û
,
.
3) d
пересекает
p
(т.е. имеет с p
одну общую точку) Û
.
4) плоскость p
прямая d
взаимно перпендикулярны
Û
.