9) Линейная независимость строк и столбцов.
Определение1.
Линейной комбинацией столбцов
…,
одной размерности называется столбец
вида
,
где
-
действительные числа, называемые
коэффициентами линейной комбинации.
Определение 2. Система столбцов …, называется линейно независимой, если
.
В противном случае система столбцов …, называется линейно зависимой.
Пример 1.
Если
,
то система, состоящая из единственного
столбца
,
линейно независима.
Пример 2. Столбцы
линейно независимы, так как
,
и равенство
возможно лишь в том случае, когда
.
Теорема 1(Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем).
1) Система столбцов …, линейно зависима один из этих столбцов есть линейная комбинация остальных.
2) Если среди
столбцов
есть нулевой, то они составляют линейно
зависимую систему.
3) Если система столбцов содержит линейно зависимую подсистему, то вся система линейно зависима.
4) Если система столбцов линейно независима, то и любая ее подсистема линейно независима.
Аналогичным образом определяется линейная зависимость и линейная независимость строк.
Предложение1.
Если в квадратной матрице
какой-либо столбец (строка) является
линейной комбинацией остальных столбцов
(строк), то
.
10)Определение ранга матрицы. Теоремы о базисном миноре и о ранге матрицы.
Рассмотрим произвольную матрицу
Определение1.
Минором
-го
порядка матрицы
называется определитель, образованный
элементами, расположенными на пересечении
каких-либо
строк и каких-либо
столбцов.
Элемент матрицы можно рассматривать как минор первого порядка.
Пример 1. Рассмотрим матрицу
.
Определитель
есть минор второго порядка. Он составлен
из элементов, стоящих на пересечении
двух строк (1-ой и 3-ей) и двух столбцов
(2-го и 3-го). Очевидно, в данной матрице
миноров порядка выше третьего нет.
Вообще, если
матрица имеет порядок
,
то наивысший порядок минора равен
наименьшему из чисел
и
,
которое будет обозначаться
.
Определение2.
Пусть
- матрица размера
.
Если матрица
нулевая, то ее ранг равен нулю. Если
матрица
ненулевая, то ее рангом называется
наибольшее из натуральных чисел
,
таких, что существует минор порядка
,
отличный от нуля.
Ранг матрицы
будем обозначать символом
.
Очевидно, если существуют миноры порядка
большего
,
то они равны нулю.
Пример 2.
.
Пример 3. Вычислим ранг матрицы , используя определение ранга матрицы.
.
1) Рассмотрим миноры первого порядка матрицы : среди них есть ненулевые;
2) Существует минор второго порядка, отличный от нуля:
Поэтому ранг не равен 1.
3) Рассмотрим миноры 3-го порядка. Каждый из них лежит на пересечении всех трех строк матрицы и на пересечении каких-либо трех из четырех столбцов матрицы . Поскольку
,
то в каждом из
миноров третья строка будет суммой
первых двух. Поэтому все миноры третьего
порядка равны нулю, и тем самым
.
Определение3. Пусть - ненулевая матрица, ранг которой равен . Минор порядка , отличный от нуля, называется, базисным минором. Строки (столбцы) матрицы , на пересечении которых лежит базисный минор, называются базисными строками (столбцами).
Теорема1 (О базисном миноре).
Базисные строки (столбцы) линейно независимы. Любая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией ее базисных строк (столбцов).
Следствие1. Если матрица квадратная и , то столбцы (строки) матрицы образуют линейно зависимую систему.
Теорема 2 (О ранге матрицы).
Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк (столбцов).