22) Деление отрезка в данном отношении.
Задача о делении
отрезка в данном отношении заключается
в следующем. Пусть задан ненулевой
отрезок АВ.
Требуется на отрезке АВ
найти точку М
так, чтобы для заданного числа
выполнялось условие
.
Введём СК OXYZ .
Теорема 1.
Пусть
,
.
Тогда искомая
точка М
имеет координаты
.
Особый интерес
представляет случай, когда точка М
является серединой отрезка АВ,
т.е.
.
В этом случае мы получаем формулы
,
т.е координаты середины отрезка являются
полусуммами координат концов отрезка.
В плоском случае точка имеет только две координаты, которые находятся по тем же формулам.
23) Направляющие косинусы вектора.
П
усть
задана СК OXYZ
и вектор
.
Пусть
,
,
-
углы между вектором
и ортами
соответственно.
Тогда
.
Возводя правые и
левые части этих равенств в квадрат и
складывая, получим равенство
,
называемое теоремой
о направляющих косинусах.
24) Скалярное произведение векторов.
Определение 1.
Скалярным произведением любых двух
векторов а
и b
называется число
,
где
-угол
между этими векторами.
К понятию
скалярного произведения мы приходим,
изучая работу постоянной силы, действующей
на прямолинейно перемещающуюся точку
.
Как известно из физики, работа
силы
на
перемещении
определяется равенством
,
где
-угол,
который составляет сила
с
перемещением
точки
.
Условимся считать, что нулевой вектор перпендикулярен любому вектору.
Теорема 1.
1)
(а
и b
перпендикулярны);
2)
j
– острый;
3)
j
– тупой;
4)
,
=
0.
Теорема 2(Законы скалярного произведения).
1)
(коммутативность);
2)
(однородность);
3)
(аддитивность).
Свойства 2) и 3) называются линейностью скалярного произведения по первому аргументу. Нетрудно видеть, что скалярное произведение векторов линейно также и по второму аргументу, т.е.
Введём теперь СК OXYZ . Очевидно, для ортов координатных осей справедливы равенства:
Используя эти равенства и линейность скалярного произведения векторов как по первому, так и по второму аргументам, получаем следующую теорему.
Теорема3. Пусть
,
.
Тогда
.
Следствие 1. Пусть -угол между векторами и , каждый из которых отличен от нуля. Тогда
.
25) Векторное произведение векторов.
Как понятие скалярного произведения возникает из понятия работы, так понятие векторного произведения возникает из понятия момента силы.
Пусть твердое
тело имеет одну неподвижную точку
.
Пусть к точке
этого
тела приложена сила
.
Из физики известно, что воздействие
этой силы
на
тело с неподвижной точкой
характеризуется особой векторной
величиной
,
которая называется моментом силы
относительно точки
.
Модуль момента равен площади
параллелограмма, построенного на
векторах
и
.
Направлен момент
по перпендикуляру к плоскости, проходящей
через точку
и силу
,
в ту сторону, откуда вращение тела
вокруг точки
,
вызываемое силой
,
видно происходящим против хода часовой
стрелки. Момент силы
относительно
точки
и называется векторным произведением
вектора
,
соединяющего точку
с точкой
приложения силы, и вектора силы
.
Перейдем теперь к общим определениям.
О
пределение
1. Рассмотрим
в пространстве упорядоченную тройку
некомпланарных векторов а,
b,
с.
Тройка векторов а,
b,
с
называется правой (левой), если наименьший
поворот вектора
до
совмещения его с вектором
виден
из конца вектора
происходящим
против хода (по ходу) часовой стрелки.
На рисунке изображена левая тройка
векторов а,
b,
с.
Определение 2.Пусть имеется упорядоченная пара векторов а и b. Если векторы а и b коллинеарны, то их векторное произведение [a, b] равно 0. В противном случае векторным произведением [a, b] векторов а и b называется вектор n, длина и направление которого задаются условиями:
.
.
– правая тройка.
И
з
определения векторного произведения
следует, что модуль векторного
произведения
ненулевых векторов а
и b
есть площадь
параллелограмма, построенного на
векторах а
и b.
Из определения векторного произведения
также следует, что
0
.
Теорема 1 (Законы векторного произведения).
1)
(
антикоммутативность);
2)
(аддитивность).
3)
.
Свойства 2) и 3) называются линейностью векторного произведения по первому аргументу. Нетрудно видеть, что векторное произведение векторов линейно также и по второму аргументу, т.е.
Введём теперь СК OXYZ . Очевидно, для ортов координатных осей справедливы равенства:
Используя эти равенства и линейность векторного произведения векторов как по первому, так и по второму аргументам, получаем следующую теорему.
Теорема 2. Пусть
векторы а
и b
заданы координатами:
,
.
Тогда вектор
,
где
,
,
.
Замечание 1.
Для вычисления координат
можно использовать разложение по первой
строке определителя матрицы, составленной
из базиса
и координат векторов а
и b
:
.
Следствие 1. Зная координаты векторного произведения, можно получить формулу для вычисления площади параллелограмма, построенного на векторах а и b:
S▱=
.
Замечание 2.
Векторы
и
можно рассматривать лежащими
на плоскости ОХY.
Тогда
координаты
,
и для площади параллелограмма,
построенного на векторах а
и b,
мы получаем формулу:
S▱=
.