Парабола.
Определение 14. Параболой называется множество точек плоскости, расстояния которых до заданной точки F, называемой фокусом, и до заданной прямой d, называемой директрисой, равны.
Расстояние
от фокуса F
до директрисы d
обозначается через р
и называется параметром
параболы.
С
троим
систему координат. Ось ОХ
проводим через фокус, перпендикулярно
директрисе.
Если через Q обозначим точку пересечения оси ОХ и директрисы, то начало координат будет находиться в середине отрезка FQ. Допустим, что положительная полуось ОХ направлена в сторону фокуса.
В
построенной СК
,
директриса d
будет иметь уравнение
.
Для
точек
параболы имеем,
,
приравнивая эти расстояния, получаем
уравнение параболы
,
возводя в квадрат, получаем каноническое
уравнение параболы
Отметим свойства
параболы. Парабола симметрична
относительно оси ОХ,
т.е. прямой, проходящей через фокус
перпендикулярно директрисе. Эта ось
симметрии называется осью
параболы.
Парабола пересекает ось в единственной
точке, делящей пополам перпендикуляр
от фокуса до директрисы и называемой
вершиной
параболы.
Построим параболу. Из уравнения
следует, что
.
Поэтому построим часть параболы в первом
квадранте (
),
а затем симметрично отобразим ее
относительно оси ОХ.
Очевидно, что с увеличением y
возрастает и х,
(
),
поэтому парабола будет иметь указанный
на рисунке вид.
Если
положительная полуось ОХ
будет направлена в сторону директрисы,
то
уравнение параболы будет
иметь вид
.
Если
фокус параболы будет лежать на оси ОY
в точке
(или
),
то уравнением параболы будет
(или
).
35) Оптические свойства кривых второго порядка.
Кривые второго порядка обладают полезными и важными с точки зрения приложений свойствами:
1) лучи света, выходящие из одного фокуса эллипса, после зеркального отражения от эллипса проходят через второй фокус;
2) лучи света, выходящие из одного фокуса гиперболы, после зеркального
отражения от гиперболы кажутся выходящими из ее другого фокуса;
3) лучи света, выходящие из фокуса параболы после зеркального отражения от параболы параллельны.
36) Полярная система координат.
Наряду с прямоугольными системами координат рассматриваются и другие системы координат. Наиболее важная из них – полярная СК на плоскости. Полярная СК определяется заданием: 1) некоторой точки О, называемой полюсом; 2) луча, исходящего из этой точки, называемого полярной осью; 3) масштаба (единицы длины) на этой оси.
П
оложение
каждой точки А
определяется полярным радиусом
и полярным углом j,
который равен углу, на который надо
повернуть полярную ось до совмещения
с лучом
.
Угол j
при этом следует считать положительным,
если поворот осуществляется против
хода часовой стрелки и отрицательным
в противном случае. Полярный угол j
для заданной точки
имеет
бесконечно много значений, которые
отличаются друг от друга на число,
кратное
.
Точку
с полярными координатами
и
обозначают
.
Для точки, совпадающей с полюсом, полярный
угол не определяется.
В случае одновременного рассмотрения декартовой и полярной систем координат обычно полюс совмещают с началом декартовой системы координат, а полярную ось с положительной полуосью абсцисс. Если точка имеет декартовы координаты и , а полярные координаты и , то
,
,
.