Самостоятельная работа № 16

Тема 2.6. Изгиб /3, с.239-277/

Знать распределение нормальных напряжений при чистом изгибе, расчетные формулы.

Уметь строить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, выполнять проектировочные и проверочные расчеты на прочность, выбирать рациональные формы поперечных сечений.

Теоретическая часть

Изгибающий момент в произвольном сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, приложенных к отсеченной части, относительно рассматриваемого сечения.

Поперечная сила в произвольном сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций всех внешних сил, действующих на отсеченной части на соответствующую ось.

Знаки поперечных сил. Поперечная сила в сечении считается положительной, если она стремится развернуть сечение по часовой стрелке (рис. 16.1а), если против, —отрицательной (рис. 16.1б). Рис.16.1

З наки изгибающих моментов

Если действующие на участке внешние силы стремятся изогнуть балку выпуклостью вниз, то изгибающий момент считается положительн (рис. 16.2,а), если наоборот— отрицательным (рис. 16.2,б). Рис.16.2

Расчет на прочность при изгибе

Рассчитать на прочность — это значит определить напряжение и сравнить его с допустимым.

Условие прочности при изгибе:

где [ ] — допускаемое напряжение.

1. По этому неравенству проводят проверочные расчеты после окончания конструирования балки.

Для балок из хрупких материалов расчеты ведут по растянутой и сжатой зоне одновременно.

Рис.16.3

2. При проектировочном расчете определя­ют потребные размеры поперечных сечений балки или подбирают материал.

3.По условию прочности можно определить нагрузочную способ­ность балки Примеры решений

Пример 1. Для заданной одноопорной балки, рис. 16.4 построить эпюры изгибающих моментов. Подобрать размеры сечения балки в виде двутаврами квадрата. Известна схема нагружения балки, материал — сталь, допускаемое напряжение материала при изгибе [_p] = [_c] = 160 МПа. Рассчитать площади поперечных сечений и сделать вывод о целесообразности применения сечения.

Решение. Для защемленной балки реакции в опоре определять не следует.

Проводим расчеты по характерным точкам. Раз­меры сечения подбираем из расчета по нормаль­ным напряжениям. Эпю­ру поперечных сил стро­ить необязательно.

Рис. 16.4

Определяем моменты в характерных точках.

М_А =0; М_B= ∙ 4 = 20 ∙ 4 = 80 кН∙ м.

В точке C приложен внешний момент пары, поэтому расчет проводим для левого сечения (без момента) и для правого — с моментом m.

Момент положительный.

Момент в заделке =

Выбираем соответствующий масштаб по максимальному значе­нию изгибающего момента, рис.16.4.

Опасное сечение — сечение балки, где действует максимальный момент. Подбираем размеры балки в опасном сечении по условию прочности

];

Основываясь на значении = 500 см³ по таблице ГОСТ 8239-89 выбираем двутавр № 30а: момент сопротивления 518 см³; пло­щадь сечения A = 49,9см³.

Для сравнения рассчитаем размеры балки квадратного сечения при том же моменте сопротивления сечения.

Сторона квадрата b 14,5 см.

Площадь сечения бал­ки A = = 14,5² = 210,2 см².

Балка квадратного сечения в 4 раза тяжелее.

Пример.2 Для заданной двухопорной балки (рис. 16.5) определить реак­ции опор, построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Подобрать из условия прочности на изгиб размеры поперечного сечения прямоугольника или круга, приняв для прямоугольника h/b = 1,5. Считать [ _и] = 160 МПа.

Дано: F₁ = 18 кН, F₂ =30 кН, M₁ = 20 кН × м, М₂ = 10 кН × м.

Решение. 1. Строим расчетно-графическую схему (рис. 16.6, б).

Рис. 16.6

2. Определяем опорные реакции балки R_Вх, R_Вy, R_D и проверяем их найденные значения.

Опорные реакции балки

Проверка:

Условие равновесия статики выполняется, следовательно, реакции опор балки найдены правильно.

3. Определяем поперечные силы Q в характерных сечениях и строим эпюру слева направо (рис. 16.6, в)

4. Вычисляем изгибающие моменты в характерных точках и строим эпюру (рис. 16.6, г)

5. Вычисляем размеры сечения данной балки по двум вариантам:

а) сечение – прямоугольник с заданным соотношением сторон;

б) сечение – круг.

Вычисляем размеры прямоугольного сечения из условия прочности на изгиб .

Максимальный изгибающий момент берется в точке С слева. Осевой момент для прямоугольного сечения

Так как то Тогда ;

Отсюда

Тек как b=127 мм, то

Вычисляем размер круглого сечения из условия прочности на изгиб.

Так как для круга

Отсюда находим диаметр сечения:

Ответ: b=127 мм; h=190,5 мм; d=195 мм.

Задание 1. Расчетно-графическое задание

Для одноопорной балки (рис.16.7,) , нагруженной сосредото­ченными силами и парой сил с моментом т, построить эпюры попе­речных сил и изгибающих моментов. Найти максимальный изгиба­ющий момент и из условия прочности подобрать поперечное сечение для балки в виде двутавра и прямоугольника с соотношением сто­рон h = 2b. Материал — сталь, допускаемое напряжение 160 МПа. Рассчитать площади поперечных сечений и сделать вывод о целесо­образности применения сечения. Исходные данные в таблице 16.1, принять а=0,1 м.

Рис.16.7

Таблица 16.1

Вариант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
F1, кН	10	40	41	26	29	18	10	5	24	21	20	16	24	18	26
F2, кН	25	24	22	14	40	36	12	12	38	16	18	22	17	22	45
m1,кН∙м	12	18	30	35	25	24	15	20	18	20	14	10	16	13	20

Задание 2. Расчетно-графическое задание

Для заданной двухопорной балки (рис. 16.8, а,б) определить реак­ции опор, построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Подобрать из условия прочности на изгиб размеры поперечного сечения прямоугольника или круга, приняв для прямоугольника h = 2b. Считать [ ] = 150 МПа, принять а=0,1 м, b=0,3 м, c=0,4 м.

Данные для различных вариантов указаны в таблице 16.1.

а) б)

Рис. 16.8

Самостоятельная работа №17