Самостоятельная работа №2
Тема 1.2 Плоская система сходящихся сил /3, стр.12-27/
Знать геометрический и аналитический способы определения равнодействующей системы сил, условия равновесия плоской системы сходящихся сил.
Уметь определять равнодействующую, решать задачи на равновесие в геометрической и аналитической формах.
Теоретическая часть
Определение равнодействующей системы сил геометрическим способом.
Используя свойства суммы сил, можно получить равнодействующую любой сходящейся системы сил, складывая последовательно силы, входящие в систему. Образуется многоугольник сил (рис 2.1). Вектор равнодействующей силы соединит начало первого вектора с концом последнего.
Рис. 2.1
Условие равновесия плоской системы сходящихся сил.
При равновесии системы сил равнодействующая должна быть равна нулю, следовательно, при геометрическом построении конец последнего вектора должен совпасть с началом первого.
Если плоская система сходящихся сил находится в равновесии, многоугольник сил этой системы должен быть замкнут.
Проекция силы на ось определяется отрезком оси, отсекаемым перпендикулярами, опущенными на ось из начала и конца вектора (рис. 2.2).
Рис. 2.2
Величина проекции силы на ось равна произведению модуля силы на косинус угла между вектором силы и положительным направлением оси. Таким образом, проекция имеет знак: положительный при одинаковом направлении вектора силы и оси и отрицательный при направлении в сторону отрицательной полуоси (рис. 2.3).
Рис. 2.3
Проекция силы на две взаимно перпендикулярные оси (рис. 2.4).
Рис. 2.4
Условия равновесия плоской системы сходящихся сил в аналитической форме: плоская система сходящихся сил находится в равновесии, если алгебраическая сумма проекций всех сил системы на любую ось равна нулю.
Система уравнений равновесия плоской сходящейся системы сил:
Примеры решений
Пример
1. Определите сумму проекций сил
системы на оси Ох и Оу на рис. 2.5.
Рис. 2.5
Вычисляем величину проекций заданных сил на оси координат Ох и Оу.
∑FiX=F1 cos300-F2+F3cos450=10∙0,866-20+15∙0,707=-0,735 кН;
∑FiY=F1cos(900-300)-F3cos(900-450)=10∙0,5-15∙0,707=-5,605 кН.
Пример 2. Определить графически и проверить аналитически равнодействующую системы сходящихся сил.
Задано: F1=6
Н; F2=12 Н; F3=5
Н;
.
Определить: R;
Строим
схему в соответствии с заданием. Масштаб:
1см/2Н
Рис. 2.6
Решение
1. Для заданной системы сходящихся сил в соответствии с вариантом задания построим в выбранном масштабе силовой многоугольник, рис. 2.7
2.
Измерить линейкой длину вектора
равнодействующей, учитывая масштаб
построения, вычислить величину
равнодействующей силы. R=14
Н.
3. Измерить транспортиром угол между R
и осью y;
Рис. 2.7
4. Вычислить величину и направление равнодействующей аналитическим методом (методом проекций).
5. На осях координат отложить проекции
равнодействующей силы. Эти отрезки
образуют стороны прямоугольника,
диагональ которого – равнодействующая.
6. Вычисляем тангенс угла
.
7. Находим угол
8. Если сумма проекций всех сил на каждую ось равна нулю, то и
равнодействующая равна нулю, т.е. заданная система не уравновешена.
Ответ: Rx=7,7H;
Ry=-10,8H;
R=13,3H; tg
;
.
Пример 3. К кронштейну А,В,С в точке В подвешен груз F1, F2. Определить усилия в стержнях 1 и 2 кронштейна.
Задано: F1=20 Н, F2=10 Н. Схема конструкции на рис.2.8.
Определить: N1, N2.
Рис. 2.8
Решение
1. Выделяем объект равновесия – тело или точку, где пересекаются линии действия всех сил, т.е. точку, равновесие которой в данной задаче следует рассмотреть – это точка В.
2. К выделенному объекту равновесия прикладываем заданные силы – это F1, F2.
3. Выделенную точку освобождаем от связей, их действие заменяем реакциями – это N1, N2.
4. Выбираем координатные оси. Рациональный выбор осей позволяет упростить уравнения равновесия. Необходимо направлять координатные оси так, чтобы наибольшее количество сил было параллельно одной из осей, в том числе и реакции связей. Поэтому направляем оси x, y вдоль стержней АВ и ВС.
5. Составляем уравнения равновесия, решаем их, пишем ответ.
Часто при решении задач трудно заранее определить направление усилий в стержнях. В этих случаях удобно считать стержни растянутыми и их реакции направлять от узлов. Если решение задачи даст значение реакции со знаком минус, то в действительности имеет место на растяжение, а сжатие. Таким образом, реакции растянутых стержней будут положительными, а сжатых – отрицательными.
Ответ: N1=-12,3H – стержень АВ – сжат; N2=18,7H – стержень ВС растянут.
Расчетно-графическое задание. Решить три задачи.
1. Определите сумму проекций сил системы на оси Ох и Оу на рис. 2.9. Значения сил приведены в таблице 2.1.
Рис. 2.9
Таблица 2.1
Вариант |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
F1 |
8 |
4 |
12 |
7 |
2 |
9 |
11 |
15 |
6 |
5 |
F2 |
10 |
6 |
15 |
9 |
13 |
7 |
20 |
10 |
3 |
20 |
F3 |
12 |
8 |
10 |
5 |
7 |
13 |
16 |
9 |
14 |
13 |
2. Определить графически и проверить аналитически равнодействующую системы сходящихся сил, если значения сил F1, F2, F3, и их направления заданы в таблице 2.2, схема на рис. 2.10.
У
F1
F2
α2
α1
α3 Х
F3
Рис.2.10
Таблица 2.2
Вариант |
F1,H |
F2,H |
F3,H |
α1, град |
α2, град |
α3, град |
1 |
10 |
7 |
8 |
30 |
120 |
270 |
2 |
6 |
3 |
4 |
120 |
45 |
300 |
3 |
2 |
4 |
1 |
60 |
135 |
330 |
4 |
1 |
3 |
2 |
150 |
240 |
300 |
5 |
7 |
6 |
9 |
45 |
225 |
330 |
6 |
2 |
4 |
5 |
200 |
60 |
360 |
7 |
3 |
2 |
5 |
30 |
180 |
270 |
8 |
5 |
4 |
3 |
180 |
225 |
270 |
9 |
4 |
3 |
2 |
60 |
180 |
300 |
10 |
9 |
6 |
7 |
45 |
240 |
330 |
3. К кронштейну А,В,С в точке В подвешен груз F1, F2. Определить усилия в стержнях 1 и 2 кронштейна на рис. 2.11, исходные данные в таблице 2.3
А 1 В
α1
α2
F1
2
F2
С
Рис. 2.11
Таблица 2.3
Вариант |
F1,кH |
F2,кH |
α1, градусы |
α2, градусы |
1 |
20 |
40 |
30 |
45 |
2 |
10 |
18 |
45 |
60 |
3 |
7 |
12 |
60 |
30 |
4 |
9 |
16 |
30 |
90 |
5 |
7 |
15 |
45 |
30 |
6 |
8 |
26 |
45 |
45 |
7 |
9 |
19 |
50 |
90 |
8 |
30 |
24 |
40 |
60 |
9 |
42 |
27 |
60 |
45 |
10 |
25 |
16 |
50 |
40 |