3.3.2 Правило Крамера

Пусть дана система линейных алгебраических уравнений, у которой число уравнений равно числу неизвестных, то есть .

               (3.3)

Определение. Определитель матрицы системы уравнений (3.3) называется определителем системы

.

Если определитель системы уравнений (3.3) отличен от нуля, то система (3.3) совместна и имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера

(3.4)

где - определитель, получаемый из определителя системы заменой го столбца столбцом свободных членов.

Пример 3.3. Решить систему уравнений по методу Крамера

Решение. Найдём определитель системы уравнений, поскольку он отличен от нуля, то система совместна. Вычислим определители .

Применяя формулы Крамера (3.4), получим решение системы уравнений

.

Замечание 1. Если определители и , то система уравнений (3.2) имеет бесчисленное множество решений.

Замечание 2. Если определитель , а хотя бы один из определителей отличен от нуля, то система уравнений (3.2) несовместна.

3.3.3 Элементарные преобразования системы линейных алгебраических уравнений

Элементарные преобразования преобразуют данную систему в эквивалентную ей систему уравнений, то есть элементарные преобразования не изменяют множество решений системы.

К элементарным преобразованиям системы уравнений относятся:

1) перестановка местами любых двух уравнений;

2) умножение обеих частей любого уравнения на любое число ;

3) прибавление к обеим частям уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое число.

Используя элементарные преобразования, исходную систему уравнений приводят к такому виду, из которого легко находится решение системы.

Пример 3.4. Решить систему уравнений

Решение. Поменяем местами первое и третье уравнения, применив элементарное преобразование 1

Умножим первое уравнение на (-3) и прибавим ко второму, затем к третьему уравнению прибавим первое, умноженное на (-2). С помощью этих преобразований неизвестная исключится из второго и третьего уравнений.

.

Рассмотрим второе и третье уравнения. Умножим обе части второго уравнения на . Тогда второе уравнение примет вид .

Умножая это уравнение на 5, получим . Прибавим это уравнение к третьему и в результате получим систему

Из последнего уравнения получим , затем из второго и из первого .

3.3.4 Метод Гаусса (Метод последовательного исключения неизвестных)

Метод применяется для решения систем с большим числом уравнений.

Пусть задана система уравнений (3.1) , в которой и , то есть система имеет единственной решение. Если коэффициент при переменной в первом уравнении системы равен нулю, то в качестве первого уравнения следует взять другое уравнение системы. Разделим почленно первое уравнение на коэффициент при переменной , получим уравнение

Умножим уравнение (*) на коэффициент и вычтем из второго уравнения системы. Затем умножим уравнение (*) на коэффициент и вычтем из третьего уравнения системы. Такие действия выполняем со всеми уравнениями системы (3.1). В результате получим систему уравнений, у которой во всех уравнениях кроме первого коэффициенты при переменной при переменной равны нулю.

(3.5)

Выполняя аналогичные преобразования во втором уравнении системы (3.5), добиваемся того, что во всех уравнениях, кроме первого и второго, коэффициенты при переменной были равны нулю.

Преобразования выполняются до тех пор, пока не получится в последней строке уравнение вида , после чего находят все значения неизвестных, начиная с последнего уравнения системы.

Пример 3.5. Решить систему уравнений .

Решение. Умножим первое уравнение на 2 и вычтем из второго уравнения, затем утроим первое уравнение и вычтем из третьего уравнения, получим систему

вычтем из третьего уравнения второе

теперь выразим из третьего уравнения переменную , затем переменные .

Ответ: .

Пример 3.6 Решение задач с использованием систем уравнений

С двух заводов поставляются автомобили для двух автохозяйств, потребности которых соответственно 200 и 300 машин. Первый завод выпустил 350 машин, а второй – 150 машин. Затраты на перевозку машин с завода в каждое автохозяйство приведены в таблице.

Завод	Затраты на перевозку в автохозяйство, ден.ед.
	1	2
1	15	20
2	8	25

Минимальные затраты на перевозку равны 7950 ден.ед. Найти оптимальный план перевозок машин.

Решение. Пусть - количество машин, поставляемых с -го завода -му автохозяйству . Составим систему уравнений

Используя метод Гаусса, находим решение системы , то есть 1 завод может поставить первому автохозяйству 50 машин, а второму – 300 машин, а 2 завод – соответственно 150 и 0 машин.

Ответ: 50, 300, 150,0 машин.