4.3 Элементы векторной алгебры

4.3.1Понятие системы координат

Для определения положения произвольной точки могут использоваться различные системы координат. Положение произвольной точки в какой-либо системе координат должно однозначно определяться. Понятие системы координат представляет собой совокупность точки начала отсчета (начала координат) и некоторого базиса. Как на плоскости, так и в пространстве возможно задание самых разнообразных систем координат. Выбор системы координат зависит от характера поставленной геометрической, физической или технической задачи. Рассмотрим некоторые наиболее часто применяемые на практике системы координат.

4.3.2 Декартова система координат

Зафиксируем в пространстве точку О и рассмотрим произвольную точку М.

Вектор назовем радиус-вектором точки М. Если в пространстве задать некоторый базис, то точке М можно сопоставить некоторую тройку чисел – компоненты ее радиус- вектора.

Определение. Декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки и базиса. Точка называется началом координат. Прямые, проходящие через начало координат называются осями координат.

1-я ось – ось абсцисс;

2-я ось – ось ординат;

3-я ось – ось аппликат.

Чтобы найти компоненты вектора нужно из координат его конца вычесть координаты начала.

Если заданы точки А(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), то = (x₂ – x₁, y₂ – y₁, z₂ – z₁).

Определение. Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и равны единице.

Определение. Декартова система координат, базис которой ортонормирован называется декартовой прямоугольной системой координат.

Пример 4.4. Даны векторы (1; 2; 3), (-1; 0; 3), (2; 1; -1) и (3; 2; 2) в некотором базисе. Показать, что векторы , и образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение. Векторы образуют базис, если они линейно независимы, другими словами, если уравнения, входящие в систему линейно независимы. Тогда вектор . Это условие выполняется, если определитель матрицы системы отличен от нуля. Действительно, определитель системы не равен нулю _.

_{Тогда составим систему} . Для решения этой системы воспользуемся методом Крамера.

₁ =

;

₂ =

₃ =

Итого, координаты вектора в базисе , , : { -1/4, 7/4, 5/2}.

Определение. Длина вектора в координатах определяется как расстояние между точками начала и конца вектора. Если заданы две точки в пространстве А(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), то .

Определение. Если точка М(х, у, z) делит отрезок АВ в отношении , считая от точки А, то координаты этой точки определяются

Замечание. В частном случае координаты середины отрезка находятся

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат тогда линейные операции над ними в координатах имеют вид

4.3.3 Скалярное произведение векторов

Определение. Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними

 =   cos.

Свойства скалярного произведения

1.  =  ²;

2.  = 0, если  или = 0 или = 0.

3.  =  ;

4. ( + ) =  +  ;

5. (m ) = (m ) = m(  ); m=const

Если рассматривать векторы в декартовой прямоугольной системе координат, то  = x_a x_b + y_a y_b + z_a z_b;

Используя полученные равенства, получаем формулу для вычисления угла между векторами

;

,

где - проекция вектора на вектор , отсюда .

Пример 4.5 Найти (5 + 3 )(2 - ), если

Решение. 10  -5  +6  -3  =10 ,

т.к. .

Рассмотрим вектор . Вектор образует с осями координат углы , выражения называются направляющими косинусами, при этом

Пример 4.6. Найти угол между векторами и , если _.

Решение. Найдём координаты векторов = (1, 2, 3), = (6, 4, -2), тогда их скалярное произведение  = 6 + 8 – 6 = 8.

_{Найдём длины векторов} .

Следовательно, косинус угла между векторами равен

cos=

Пример 4.7 При каком значении числа m векторы и перпендикулярны?

Решение. Выпишем координаты векторов = (m, 1, 0); = (3, -3, -4). С учётом перпендикулярности векторов составим уравнение скалярного произведения .

Пример 4.8 Вычислить проекцию вектора на направление вектора ,

если

Решение. Обозначим , тогда . Отсюда