3.4 Однородная система линейных уравнений

Определение. Система линейных уравнений называется однородной, если свободные члены во всех её уравнениях равны нулю (3.8).

(3.8)

Однородная система всегда совместна. Решение называется нулевым или тривиальным решением системы.

Теорема. Для того чтобы однородная система уравнений имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель этой системы был равен нулю.

Доказательство. а) Пусть определитель матрицы системы равен нулю , но один из её миноров отличен от нуля. Предположим, что этот минор расположен в первых строках (этого всегда можно добиться, переставляя строки). Тогда вычисляем алгебраические дополнения последней строки определителя , и при любом значении числа система имеет решение .

б) Пусть определитель и все его миноры равны нулю. В этом случае все уравнения системы пропорциональны, и система сводится к одному уравнению . Задавая произвольно значения неизвестных, из этого уравнения можно найти оставшееся неизвестное, и все эти значения будут удовлетворять всей системе.

Пример 3.8. Решить систему линейных уравнений

Решение. Найдем определитель матрицы системы уравнений.

.

Вычислим миноры матрицы системы уравнений

,

тогда система имеет решения .

Ответ: .

3.5 Метод Жордана обращения матрицы

Пусть - невырожденная квадратная матрица порядка . Рассмотрим матричное уравнение

   или                      (3.9)

где - единичный вектор, на м месте стоит единица.

Умножим это уравнение слева на обратную матрицу , получаем , поскольку произведение равно единичной матрице, то переходим к равенству

,

то есть решением системы является ый столбец обратной матрицы . Тогда решением уравнения является первый столбец матрицы , уравнения - второй столбец и т.д., - -й столбец обратной матрицы . При решении этих систем каждый раз матрица приводится к единичной матрице. При решении системы уравнений по методу Жордана-Гаусса матрица системы (её базисный минор) приводится к единичной матрице, а правые части дают решение уравнения , причём преобразованиям подвергается вся расширенная матрица. Отсюда следует, что, подвергая элементарным преобразованиям строки расширенной матрицы , на месте матрицы будет стоять обратная матрица , то есть , , следовательно , где единичная матрица порядка .

Пример 3.9. Найти обратную матрицу для матрицы .

Решение. Найдем обратную матрицу методом Жордана. Для этого составим расширенную матрицу и элементарными преобразованиями только строк этой матрицы получим матрицу ( ). Справа от матрицы ( ) указываются преобразования строк данной матрицы. Например, запись (2)-2(3)→ (2) означает, что вторая строка в следующей таблице есть разность второй строки удвоенной третьей строки.

Обратная матрица записана справа от вертикальной черты и имеет вид

Проверка:

3.6 Системы линейных алгебраических уравнений в программе Mathcad

С использованием теоремы Кронекера-Капелли и методами решения, применяемыми в программе Mathcad, можно предложить следующую схему по поиску решения систем линейных алгебраических уравнений (рисунок 2).

Рисунок 2 –Методы решения СЛАУ в Mathcad

Пример 3.10 Метод обратной матрицы

Решить СЛАУ методом обратной матрицы

Порядок действий при решении

1 способ - использование операций над матрицами

1. Ввести элементы матриц .

2. Найти определитель матрицы , то есть проверить возможность решения системы методом обратной матрицы .

3. Для нахождения матрицы-столбца неизвестных переменных по данным матрицам ввести формулу .

4. Правее или ниже этой формулы набрать и ввести для приближенного решения знак [=] (равно) или из математической палитры пиктограмму (для точного решения) и нажать клавишу [Enter].

На экране