2 Матрицы и определители

2.1 Понятие о матрице

Определение. Числовой матрицей размера называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Матрицы обозначаются прописными (заглавными) латинскими буквами, например, А, В, С, .... Элементы матрицы обозначают строчными буквами латинского алфавита с двойной индексацией a_ij. Первый индекс элемента a_ij указывает номер строки, а второй индекс номер столбца, в котором расположен элемент a_ij.

Матрицы позволяют удобно записывать количественную информацию и поэтому часто используются в различных сферах.

Пример 2.1. Продавец газет в первый день торговли продал 360 экземпляров изданий: 80 газет «Из рук в руки», 100 газет «Счастливый случай», 70 газет «Беседка» и 110 газет «Коммерсант»; во второй день количество продаж увеличилось до 620 газет: соответственно 160, 150, 130 и 180. Наибольший спрос пришёлся на третий день - 1010 экземпляров: 250, 210, 310 и 240 соответственно. Результаты продаж можно записать компактно в виде таблицы

Газета 1 день 2 день 3 день «Из рук в руки» 80 160 250 «Счастливый случай» 100 150 210 «Беседка» 70 130 310 «Коммерсант» 110 180 240

или матрицы .

2.2 Виды матриц

Определение. Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой или вектором-строкой .

Определение. Матрица, состоящая из одного столбца - матрицей-столбцом или вектором-столбцом .

Определение. Матрица А называется согласованной с матрицей В, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

Определение. Если в матрице число строк m равно числу столбцов n (m=n), то матрица называется квадратной. Число n называется порядком квадратной матрицы.

В квадратной матрице выделяют две диагонали: главную и побочную.

Определение. Элементы матрицы a_ij, у которых номер столбца равен номеру строки , называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы.

Определение. Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной.

Определение. Если у диагональной матрицы все диагональные элементы равны единице, то матрица называется единичной и обозначается буквой E.

Например, - единичная матрица третьего порядка.

Определение. Матрица с нулевыми элементами, расположенными выше или ниже главной диагонали, то есть вида

или ,

называется соответственно нижней или верхней треугольной матрицей.

Определение. Две матрицы и одного размера называются равными, если все соответствующие элементы матриц равны, т.е. .