2.3 Операции над матрицами

Над матрицами выполняются операции: умножение матрицы на число, сложение, произведение, транспонирование, обращение матрицы и другие.

1) Умножение матрицы на число. Произведением матрицы А на число называется матрица , элементы которой получены умножением соответствующих элементов матрицы А на число .

2) Сложение матриц. Суммой двух матриц А и В одинакового размера называется матрица , элементы которой получены сложением соответствующих элементов матриц А и В.

3) Вычитание матриц. Разность двух матриц А и В одинакового размера определяется по правилу .

4) Произведение матриц. Произведением матриц (размеры которых согласованы) называется матрица , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов й строки матрицы А на соответствующие элементы го столбца матрицы В: .

Для того чтобы умножение было возможно, нужно, чтобы число столбцов в первой матрице-сомножителе равнялось числу строк во второй матрице-сомножителе.

Пример 2.2 Найти произведение матриц , где , .

Решение.

1) Найдём размер матрицы-произведения, поскольку размеры матриц согласованы. .

2) Найдём элементы матрицы-произведения

.

Свойства операций над матрицами

1. Коммутативность сложения .

2. Ассоциативность сложения .

3. Дистрибутивность умножения на число , где действительное число.

4. Ассоциативность умножения на число .

5. Дистрибутивность умножения или .

6. Ассоциативность умножения .

Умножение матриц не обладает коммутативным свойством.

Например, в примере 2.2 умножение матрицы В на матрицу А, то есть невозможно, так как число столбцов в матрице B не равно числу строк в матрице A. Даже если размеры матриц согласованы, то произведения и могут иметь различные результаты.

Пример 2.3. Найти произведение матриц и , где , .

Решение. , ,

то есть .

5) Возведение матрицы в степень. Целой положительной степенью квадратной матрицы А называется произведение m матриц, равных А, то есть . По определению .

6) Транспонирование матрицы. Матрица А^Т называется транспонированной по отношению к матрице A, если она получена из матрицы A заменой строк столбцами с сохранением порядка

, .

Пример 2.4. Транспонировать матрицу А размера , где .

Решение.

, то есть транспонированная матрица имеет размер .

Свойства операции транспонирования матрицы

1) . 2) . 3) (A+B) ^T=A^T+B^T. 4) (AB)^T=B^TA^T.

Матрицей, транспонированной для матрицы-строки, является матрица-столбец и наоборот.

Пример 2.5 Результат торговли газетами в примере 2.1 можно записать другим способом через транспонированную таблицу

	«Из рук в руки»	«Счастливый случай»	«Беседка»	«Коммерсант»
1 день	80	100	70	110
2 день	160	150	130	180
3 день	250	210	310	240

или матрицу .

Операции над матрицами позволяют упрощать решения некоторых задач.

Пример 2.6. Подсчитать выручку от реализации газет за каждый день в примере 1, зная, что один экземпляр газеты «Из рук в руки» стоит 5 руб., «Счастливый случай» - 4,5 руб., «Беседка» - 4 руб. и «Коммерсант» - 3 руб.

Решение. Используя операцию умножения матриц, найдём произведение матрицы-строки цен на матрицу продаж

.

Таким образом, в первый день было реализовано газет на сумму 1460 руб., во второй – 2535 руб., в третий – 4155 руб.