3.2. Линейная алгебра. Векторная алгебра. Евклидово пространство
Задание 1.
З
амечание.
Здесь и далее верные варианты ответов
помечены точкой и подчеркнуты.
Решение.
Пусть дана система линейных алгебраических уравнений:
По
правилу Крамера
если Δ ≠ 0.
В данном случае:
Задание 2.
Решение.
Пусть даны матрица
А
размерности
и матрица В
размерности
.
Произведением матрицы А
на матрицу В
называется новая матрица С
= А · В
размерности
. В данном случае
;
;
Элементы
матрицы С
вычисляются по формуле:
В данном случае:
Задание 3 .
Решение.
Разложение
определителя по элементам второй строки
имеет вид:
Задание 4.
Пояснения.
Первое утверждение верно. Ранг матрицы по определению равен k, если существует хотя бы один отличный от нуля минор порядка k и все миноры высших порядков равны нулю. Ранг матрицы равен числу линейно независимых строк и столбцов этой матрицы.
Второе утверждение верно. Если все миноры порядка k -1 равны нулю, то и минор порядка k равен нулю.
Третье утверждение
не верно, т.к. общее число строк и столбцов
матрицы может быть больше числа линейно
независимых строк и столбцов этой
матрицы
Четвертое утверждение абсурдно.
Задание 5.
Решение.
Пусть даны два
n-мерных
вектора
и
.
Скалярным произведением этих векторов называется число:
.
Угол
между векторами
и
определяется формулой:
Если
угол φ
тупой, то
или
В данном случае:
Задание 6.
Решение.
Векторы
и
называются
ортогональными, если их скалярное
произведение равно нулю:
В
данном случае
.
Задание 7.
Решение.
Вектор называется
нормированным, если его модуль равен
единице. В данном случае:
;
;
;
;
;
.
3.3. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве
Задание 1.
Решение.
Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через точку K в заданном направлении (перпендикулярно прямой MN):
.
По
условию перпендикулярности
.
Искомое
уравнение принимает вид:
Задание 2 .
Решение.
Уравнение окружности
с центром в точке
определяется
уравнением:
Координаты центра заданы, поэтому достаточно определить радиус. Для этого используем условие прохождения искомой окружности через точку А(10;10); т.е. подставим координаты точки А в уравнение окружности.
Тогда, уравнение окружности принимает вид:
Задание 3.
Пояснения.
Общее уравнение плоскости имеет вид:
Если в уравнении отсутствует некоторая переменная, например z, то плоскость параллельна соответствующей оси, например Oz. Если отсутствует свободный член, то плоскость проходит через начало координат.
Задание 4.
Решение.
Угловой коэффициент определяется формулой:
Разделы «Комплексные числа», «Действия над комплексными числами», «Тригонометрическая форма комплексного числа» являются составными частями дидактической единицы «Комплексный анализ»
Задание 5.
Решение.
Тригонометрическая
форма комплексного числа
имеет вид:
,
где
;
.
В
данном случае по геометрической
иллюстрации видно, что
и
.
Значит
и
.