Задания для самостоятельного решения

Даны матрицы А и В:

а) найти произведение матриц А и В;

б) вычислить определитель матрицы А;

в) записать транспонированную матрицу А^Т;

г)показать, что след матрицы А равен следу матрицы А^Т.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

2.2. Системы линейных алгебраических уравнений (слау)

Литература: [1] гл.2, §2.1-2.6; [2] гл.4; [3] гл.1, §4; [4] гл.2; [5] гл.4, §5-7; [6] гл.3, §3.

Разберите решение задачи 2.

С истему линейных алгебраических уравнений

решить:

а) по формулам Крамера;

б) с помощью обратной матрицы;

в) методом Гаусса.

Решение:

а) по формулам Крамера

Формулы Крамера, позволяющие найти решение системы уравнений третьего порядка с тремя неизвестными в том случае, когда имеют вид:

, , , где - определитель системы,

, , - дополнительные определители, получающиеся из определителя системы путем замены столбцов, соответствующих неизвестных на столбец свободных коэффициентов.

Составляем и вычисляем определители:

, т.е. система определена и имеет единственное решение.

,

,

.

Решение системы уравнений по формулам Крамера:

, , .

б) с помощью обратной матрицы

Данную систему линейных алгебраических уравнений запишем в матричной форме. Обозначим через А – матрицу коэффициентов при неизвестных;

Х-матрицу-столбец неизвестных х,у,z; В-матрицу-столбец свободных членов:

Левую часть системы уравнений можно записать в виде произведения А·Х. Следовательно, данную систему уравнений можно представить матричным уравнением А·Х=В. Если матрица А невырожденная (т.е. определитель составленный из элементов матрицы А отличен от нуля, _А0), то матрица А имеет единственную обратную матрицу А^-1. Умножив обе части равенства А^.Х=В на матрицу А^-1 слева, получим А^-1 ·А·Х=А^-1·В . Так как А^-1·А=Е , где Е - единичная матрица, тогда матричная запись решения системы линейных уравнений Х=А^-1 ·В .

О братная матрица определяется формулой

где А_ij (i=1,2,3; j=1,2,3) – алгебраические дополнения элементов а_ij в определителе матрицы А. Алгебраические дополнения являются произведением (-1)^i+j на минор М_ij второго порядка А_ij=(-1)^i+jM_ij .

Минором M_ij является определитель на порядок меньший, получаемый вычерчиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А.

Вычислим определитель _А любым способом, например разложением определителя по элементам первой строки:

Матрица А невырожденная, т.к. _А= - 410, следовательно матрица А имеет обратную матрицу А^-1 .

Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы А:

З апишем обратную матрицу А^-1

М атричное решение системы имеет вид Х= А^-1 ·В, т.е.

Таким образом х=3; у=4; z=2.

в) методом Гаусса.

Метод Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных в системе уравнений. Элементарными преобразованиями приводят исходную СЛАУ к эквивалентной СЛАУ простейшего вида. При решении методом Гаусса расширенную матрицу системы уравнений элементарными преобразованиями приводят к треугольному виду.

Запишем расширенную матрицу данной СЛАУ. Выполним следующие преобразования:

1) поменяем строки местами;

2) от элементов 2-ой строки вычтем удвоенные элементы 1-ой строки; от элементов 3-ей строки вычтем элементы 1-ой строки, умноженные на 3;

3) элементы 2-ой и 3-ей строки разделим на (-1);

4) от элементов 3-ей строки, умноженных на 14, вычтем элементы 2-ой строки, умноженные на 11;;

4) элементы 3-ей строки разделим на (-41).

Далее, из 3-ей строки найдем значение z. Подставляя z во 2-ую строку, находим значение y. Подставляя z и у в 1-ую строку, находим значение х:

~ ~ ~

~ ~ ~

Из 3-ей строки следует, z=2. Из 2-ой строки 14у+ 5z = 66; 14у = 66 – 10 или

14у = 56, отсюда у = 4. Из 1-ой строки х+5у+ z = 25; х = 25-20-2 = 3; х = 3

Таким образом х=3; у=4; z=2.

Разберите решение задачи 3.

Найти общее решение однородной системы линейных уравнений и проанализировать его структуру (указать базис пространства решений однородной системы, установить размерность пространства):

Решение:

Множество решений однородной СЛАУ является подпространством линейного пространства и обозначается (ker A). Размерность этого подпространства определяют по формуле: dim(ker A) = n – r, где n – количество неизвестных в однородной СЛАУ, r – ранг матрицы А. В нашем случае n =5. Необходимо найти ранг матрицы. Запишем матрицу коэффициентов СЛАУ и найдем ее ранг методом элементарных преобразований:

1. поменяем местами строки;

2. от элементов 2-ой строки вычтем элементы 1-ой строки, умноженной на 6; от элементов 3-ей строки вычтем элементы 1-ой строки, умноженной на 7;

3. от элементов 3-ей строки вычитаем элементы 2-ой, получаем нулевую строку и вычеркиваем ее

~ ~

~ ~ .

Ранг матрицы А равен числу ненулевых строк. Таким образом, r=2.

dim(ker A) = n – r=5-2=3. Т.е., линейное подпространство решений данной однородной СЛАУ имеет размерность 3. Следовательно, имеется три линейно независимых решения, которые образуют фундаментальную систему решений (ФСР) данной однородной СЛАУ. Решим укороченную систему:

Выберем в качестве базисного минора , также ранг полученной расширенной матрицы равен 2, тогда выберем два базисных неизвестных, например, х₁ и х₂. Оставшиеся х₃, х₄, х₅ будут свободными неизвестными. В укороченной системе базисные неизвестные перенесем в левую часть, а свободные неизвестные – в правую часть равенств.

Из последнего уравнения находим .Подставляя найденное значение х₂ в первое уравнение, найдем х₁:

.

Базисные решения получим, если свободным неизвестным будем придавать поочередно значение 1, полагая остальные равными 0.

При х₃=1, х₄=0, х₅=0, получим .

При х₃=0, х₄=1, х₅=0, получим .

При х₃=0, х₄=0, х₅=1, получим .

Запишем базис линейного пространства решений однородной СЛАУ –

фундаментальную систему решений:

, , .

Размерность линейного пространства решений однородной СЛАУ равна 3.

Базис: .