2. Примеры выполнения типовых заданий, методические указания, вопросы для самопроверки и задания для самостоятельного решения

2.1. Матрицы. Определители

Литература: [1] гл.1, §1.1-1.4; [2] гл.2,3; [3] гл.1, §1-2; [4] гл.1; [5] гл.4, §1-2; [6] гл.3, §1-2.

Разберите решение задачи 1.

Даны матрицы А и В:

а) найти произведение матриц А и В;

б) вычислить определитель матрицы А;

в) записать транспонированную матрицу А^Т;

г)показать, что след матрицы А равен следу матрицы А^Т.

Решение:

а) найти произведение матриц А и В, если

,

Произведением матрицы на матрицу называется такая матрица , что

Произведение матриц А и В может быть найдено только в том случае,

когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

Чтобы получить элемент, стоящий в i-той строке и j-том столбце матрицы – произведения, нужно элементы i-той строки первой матрицы умножить на соответствующие элементы j-того столбца второй матрицы и произведения сложить. Далее перебираем все столбцы второй матрицы и все строки первой матрицы.

=

б) вычислить определитель матрицы А

Число А= , поставленное в соответствие квадратной

матрице , называется ее определителем. Данный определитель четвертого порядка ( матрица содержит 4 строки и 4 столбца). Вычислим его разложением по элементам строк или столбцов. Рациональнее находить значение определителя разложением по элементам 3-ей строки или 1-го столбца, т.к.наличие нуля в определителе уменьшает вычисления. Используем разложение определителя по элементам 3-ей строки, получим определители 3-его порядка, которые вычислим по правилу треугольников:

=

.

в) записать транспонированную матрицу А^Т

Матрица , полученная из матрицы путем замены строк на столбцы, называется транспонированной к матрице А и обозначается А^Т.

Если матрица А имеет вид , то транспонированная к ней матрица .

г)показать, что след матрицы А равен следу матрицы А^Т

Следом квадратной матрицы А называется сумма ее диагональных элементов. След обозначается trA.

trA = 2+1+7-1 = 9, trA^Т = 2+1+7-1 = 9

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение матрицы. Перечислите виды матриц.

2. Какие операции можно выполнять над матрицами? Какие ограничения существуют для них?

3. Объясните порядок выполнения умножения матриц. Какие матрицы могут перемножаться?

4. Объясните нахождение транспонированной матрицы; следа матрицы.

5. Что называется определителем второго, третьего, n-го порядков?

6. Назовите основные свойства определителей.

7. Перечислите способы вычисления определителей.

8. Объясните вычисление определителей: по правилу треугольников; разложением по элементам строк или столбцов.

9. Что называется минором, алгебраическим дополнением элемента

определителя?