Вопросы для самопроверки
1. Напишите формулы Крамера решения системы линейных
уравнений. В каких случаях система уравнений имеет а) единственное решение; б)бесчисленное множество решений; в)не имеет решения. В каких случаях можно использовать формулы Крамера.
Объясните схему решения системы линейных уравнений по
методу Гаусса.
Какая матрица называется обратной по отношению к данной
матрице? Напишите формулу обратной матрицы.
Что называется рангом матрицы? Как его найти?
Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли.
Опишите матричный способ решения системы линейных уравнений.
Опишите алгоритм решения системы уравнений методом Гаусса.
Какая система уравнений называется однородной?
Какие решения образуют фундаментальную систему?
Задания для самостоятельного решения
В задачах 1-20 систему линейных алгебраических уравнений решить:
а) по формулам Крамера;
б) с помощью обратной матрицы;
в) методом Гаусса.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
В задачах 21–40 найти общее решение однородной системы линейных уравнений и проанализировать его структуру (указать базис пространства решений однородной системы, установить размерность пространства):
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
2.3. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве
Литература: [1] гл.3, §3.1; [2] гл.1, §1.1-1.3;гл.9, [3] гл.2, §5-8, гл.4; [4] гл.4; [5] гл.2; [6] гл.4, §1.
Разберите решение задачи 4.
Вычислить объем тетраэдра (пирамиды) с вершинами А1(2;3;1), А2(4;1;-2), А3(6;3;7), А4(-5;-4;8), его высоту, опущенную из вершины А4 на грань А1А2А3. Определить угол между гранями А1А2А3 и А1А2А4.
Решение. Из вершины А1 проведем векторы А1А2={x2-x1;y2-y1;z2-z1}=
{4-2;1-3;-2-1}. Имеем А1А2 ={2;-2;-3}. А1А3={4;0;6}. А1А4={-7;-7;7}.
Вычисляем смешанное произведение векторов
2 -2 -3
А1А2.А1А3.А1А4= 4 0 6 =308
-7 -7 7
и вычисляем объем тетраэдра по формуле
V тетр.=(1/6)Vпар.=(1/6)(А1А2.А1А3.А1А4),
где V тетр и Vпар – объемы тетраэдра и параллелепипеда, построенных на
векторах А1А2, А1А3, А1А4 .
Итак объем тетраэдра V тетр.=(1/6)Vпар = 308/6=154/3 (куб. единиц объема).
С другой стороны V тетр.=(1/3) S (А1А2А3).Н, (2)
где S (А1А2А3)=(1/2)А1А2 х А1А3 .
Сравнивая формулы (1) и (2), получим
Для определения высоты Н тетраэдра необходимо вычислить модуль векторного произведения. Вычисляем координаты векторного произведения
и
его модуль
Находим высоту Н по формуле (3)
Н=308/28=11 (ед. длины)
Для определения угла между плоскостями необходимо записать координаты нормальных векторов к этим плоскостям, затем определить косинус угла по формуле
Высота Н является нормальным вектором к плоскости треугольника А1А2А3 .
Координаты вектора n1={-12;-24;8} .
Запишем уравнение плоскости А1А2А4, как уравнение плоскости, проходящей через 3 точки:
Подставим координаты точек А1, А2, А4
или
Разложим определитель по элементам 1 строки:
(х-2)(-14-21) - (у-3)(14-21) + (z-1)(-14-14) = 0
(х-2)(-35) + (у-3)7 + ( z-1)(-28) = 0
-35х+7у-28z+77 = 0
или 5х-у+4z-11=0
В качестве нормального вектора плоскости А1А2А4 можно взять
нормальный вектор n2={5;-1;4} .
Острый угол между плоскостями определим по формуле (4)
.