2. Математическое обеспечение сапр

2.1. Математические модели

Математическое обеспечение включает в себя математические модели (ММ). Основные требования к математическим моделям:

- универсальность характеризует полноту отображения в модели свойств реальной ВС (например, ММ резистора в виде уравнений закона Ома характеризует свойство резистора пропускать электрический ток, но не отражает показатели резистора как детали: его цвет, механическую прочность, стоимость и т. п.);

- точность ММ оценивается степенью совпадения значений параметров реального объекта и значений тех же параметров, рассчитанных с помощью оцениваемой ММ. Допустим, в ММ свойства оцениваются вектором входных параметров Тогда, обозначив истинное и рассчитанное с помощью ММ значение j-го выходного параметра через и , соответственно определим относительную погрешность расчета параметра как . Получена векторная оценка . Для скалярной величины используется выражение , при ;

- адекватность ММ — способность отображать заданные свойства объекта с погрешностью не выше заданной. Адекватность модели имеет место в ограниченной области изменения вектора внешних переменных Q тогда области адекватности (ОА) математической модели определяются по формуле

,

где δ < 0 — заданная константа, равная предельно допустимой погрешности модели;

- экономичность ММ характеризуется затратами вычислительных ресурсов (машинное время и память; размерность ММ, количество параметров).

Классификация ММ:

1. аналитические (в виде уравнений);

2. алгоритмические (выражают связи выходных параметров с параметрами внутренними и внешними в форме алгоритма с численным методом решения);

3. имитационные — алгоритмические модели, отражающие поведение ВС во времени при заданных внешних воздействиях на объект — это модели массового обслуживания, заданные в алгоритмической форме.

2.2. Методика составления математической модели

Методика составления ММ заключается в следующем:

1. Выбор свойств ВС, которые подлежат отображению в ММ. Этот выбор основан на анализе возможных применений модели и определяет степень универсальности ММ.

2. Сбор исходной информации о выбранных свойствах объекта (опыт и знания проектировщика, научно-техническая и справочная литература, описание прототипов).

3. Синтез структуры ММ. Структура ММ — общий вид математических соотношений модели без конкретизации числовых значений параметров (в виде графа, схемы, формул).

4. Расчет числовых значений параметров ММ (минимизация погрешностей модели заданной структуры:

min , при

где Y— вектор параметров модели,

— область варьирования параметров,

— погрешность ММ.

Оценка адекватности ММ, т. е. сравнение расчетных значений с реальными (экспериментальными) данными.

Рассмотрим классификацию моделей структурного синтеза: 1) перебор вариантов готовых законченных структур; 2) последовательный синтез; 3) трансформация описания разных аспектов.

Перебор вариантов. Такие структуры создаются заранее и хранятся в базе данных. Выбор варианта основан либо на случайной выборке, либо на эвристических способностях человека в диалоговом режиме, либо на установлении корреляции параметров, характеризующих структуру. Затем выполняется оценка варианта структуры с помощью процедуры параметрического анализа и синтеза и принимается решение на основе результатов оценки, о выборе лучшей структуры из числа рассмотренных структур. Для такого сравнения вариантов предусматриваются некоторые критерии, объединяющие частные показатели.

Если задачу структурного синтеза удается сформулировать как задачу дискретного математического программирования, то определяется

при

где — дискретное множество;

— целевая функция;

, — элементы некоторого типа в структуре.

Последовательный синтез характеризуется поэтапным решением задачи синтеза с возможностями оценки получающихся промежуточных структур. Отмечают два способа последовательного синтеза: наращивание, т. е. поочередное добавление элементов к исходной структуре (алгоритмы компоновки и размещения, где оценкой является количество межблочных связей, и предпочтение отдается тем промежуточным вариантам, при которых большое число связей оказывается сконцентрированным в пределах одного блока); выделение, т.е. из некоторой обобщенной структуры постепенно удаляются лишние элементы (обобщенные технологические маршруты обработки деталей, обработки печатных плат, куда включены операции, которые могут встретиться при различных сочетаниях конструктивных особенностей. Сопоставление чертежа конкретной платы и обобщенного маршрута позволяет убрать лишние операции и сформировать конкретный технологический маршрут).

Трансформация описаний разных аспектов, например изготовление конструкторской документации, где формализовано преобразование результатов конструкторского проектирования в графическое изображение, выполняемое по правилу проекционного черчения.

Кроме указанных процедур синтеза, существуют комбинированные, т. е. сочетание этих процедур. Например, диалоговые, в которых процедуры оценки выполняет ЭВМ, а принятие решения остается за человеком. Назначение ЭВМ — подсказать варианты; назначение человека — модифицировать структуру. Возможно применение экспертных систем для генерации вариантов структуры и для связи пользователя с САПР в режиме диалога (экспертные системы воспринимают от высококвалифицированных специалистов знания, а затем используют их при решении задач структурного синтеза).