Тема 3. Сложные проценты

Базовая формула для расчетов по сложным декурсивным процентам. Коэффициенты наращивания и дисконтирования. Определение процентных денег, срока, ставки финансовой операции и современной величины будущей суммы. Частные случаи базовой формулы: расчеты при нецелом значении периода операции; использование финансовых таблиц и определение результатов в условиях нетабличного значения ставки.

Вычисление результатов финансовых операций в условиях начисления процентов несколько раз в году. Номинальная и эффективная ставка процента. Непрерывное начисление процентов, наращивание и дисконтирование. Понятие постоянной силы роста. Расчеты в условиях переменной ставки сложных процентов: наращивание и дисконтирование.

Сложная учетная ставка: базовая формула и ее модификации. Вычисления в условиях начисления процентов несколько раз в году. Эквивалентность антисипативных и декурсивных простых и сложных ставок. Средние (простая и сложная) процентные ставки.

Использование антисипативной ставки в финансовых операциях. Расчет номинальной и дисконтированной величины векселя. Пролонгация, консолидация и изменение схем выплат при работе с векселями.

Теоретические положения темы

Сложные проценты применяются в долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются периодически сразу после их начисления за прошедший интервал времени, а присоединяются к сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их определения, часто называют капитализацией процентов.

3.1. Формула наращения по сложным процентам. Пусть первоначальная сумма долга равна Р, тогда через один год сумма долга с присоединенными процентами составит Р(1+i), через 2 года Р(1+i)(1+i)= P(1+i)², через n лет — Р(1+i)ⁿ. Таким образом, формула наращения для сложных процентов имеет вид:

, (11)

где S — наращенная сумма; i — годовая ставка сложных процентов; п — срок ссуды; — множитель вращения.

В практических расчетах в основном применяют дискретные проценты, т.е. проценты, начисляемые за одинаковые интервалы времени (год, полугодие, квартал и т.д.).

Задача 6. В кредитном договоре на сумму 1000000 руб. и сроком на 4 года зафиксирована ставка сложных процентов, равная 20% годовых. Рассчитать наращенную сумму.

Решение. Используя формулу (11), получим:

S = 1000000 (1 + 0,2)⁴ = 2 073 600 руб.

3.2. Формула наращения по сложным процентам при изменении ставки во времени. В том случае, когда ставка сложных процентов меняется во времени, формула наращения принимает следующий вид:

_, (12)

где i₁, i₂..., i_k — последовательные значения ставок процентов, действующих в соответствующие периоды n₁, n₂,…n_k.

Задача 7. В договоре зафиксирована переменная ставка сложных процентов, определяемая как 20% годовых плюс маржа 10% в первые два года, 8% — в третий и 5% — в четвертый год. Вычислить величину множителя наращения за четыре года.

Решение. Следуя формуле (12), получим искомый множитель наращения, равный (1 + 0,3)² (1 + 0,28) (1 + 0,25) = 2,704.

3.3. Номинальная и эффективная ставки процентов. Номинальная ставка. Пусть годовая ставка сложных процентов равна j, а число периодов начисления в году т. При каждом начислении проценты капитализируются, т.е. добавляются к сумме с начисленными в предыдущем периоде процентами. Каждый раз проценты начисляют по ставке j/m. Ставка j называется номинальной. Начисление процентов по номинальной ставке проводится по формуле

, (13)

где N — число периодов начисления N= mn, может быть и дробным числом).

Задача 8. Ссуда 20000 тыс. руб. предоставлена на 28 месяцев. Проценты сложные, ставка — 60% годовых. Проценты начисляются ежеквартально. Необходимо вычислить наращенную сумму.

Решение. Начисление процентов ежеквартальное. Всего имеется N = (28/3) кварталов. Число периодов начисления в году т = 4. По формуле (13) находим

S = 20000х( 1 + 0,60/4)^(28/3) = 73 712 844,81 тыс.руб.

Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и w-разовое наращение в год по ставке j/m.

Если проценты капитализируются т раз в год, каждый раз со ставкой j/m, то, по определению, можно записать следующее равенство для соответствующих множителей наращения:

, (14)

где i_эф — эффективная ставка; у — номинальная ставка. Отсюда получаем, что связь между эффективной и номинальной ставками выражается соотношением

. (15)

Обратная зависимость имеет вид

. (16)

Задача 9. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты ежеквартально, исходя из номинальной ставки 10% годовых.

Решение. По формуле (15) находим

i_эф = (1 + 0,1/4)⁴ - 1 = 0,1038, т.е. 10,38%.

Задача 10. Определить, какой должна быть номинальная ставка при ежеквартальном начислении процентов, чтобы обеспечить эффективную ставку 12% годовых.

Решение. По формуле (16) находим

j = 4 ((1 + 0,12)^1/4 – 1) = 0,11495, т.е. 11,495%.

3.4. Учет (дисконтирование) по сложной ставке процентов. Математический учет. В этом случае решается задача, обратная наращению по сложным процентам. Запишем исходную формулу для наращения сложных процентов и решим ее относительно Р:

, (17)

где

(18)

- учетный или дисконтный множитель.

Задача 11. Через 5 лет предприятию будет выплачена сумма 1000 000 руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется ставка сложных процентов — 10% годовых.

Решение. По формуле (17) находим

Р= 1000 000 (1 + 0,10)^-5 = 620 921,32 руб.

Если проценты начисляются т раз в году, то получим

, (19)

где

(20)

— дисконтный множитель.

Так же, как и в случае начисления простых процентов, величину Р, полученную дисконтированием S, называют современной или текущей стоимостью или приведенной величиной S. Суммы Р и S эквивалентны в том смысле, что платеж в сумме S через п лет равноценен сумме Р, выплачиваемой в настоящий момент.

Банковский учет. В этом случае предполагается использование сложной учетной ставки. Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле

P = S (1 - d_сл)ⁿ, (21)

где d_сл — сложная годовая учетная ставка.

Дисконт в этом случае равен

D = S — P= S — S (1 — d_сл)ⁿ = S (1- (1 d_сл)ⁿ) (22)

При использовании сложной учетной ставки процесс дисконтирования происходит с прогрессирующим замедлением, так как учетная ставка каждый раз применяется к сумме, уменьшенной за предыдущий период на величину дисконта.

Задача 12. Через 5 лет по векселю должна быть выплачена сумма 1000 тыс. руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке 10% годовых. Определить дисконт.

Решение. По формуле (21) находим

Р= 1000 (1 - 0,10)⁵ = 590,490 тыс. руб.;

D=S – P = I000 - 590,49 = 409,51 тыс.руб.

3.5. Наращение и дисконтирование с использованием непрерывного начисления процентов. Наращенная сумма при дискретных процентах определяется по формуле (13).

Чем больше т, тем меньше промежутки времени между моментами начисления процентов. В пределе при m → ∞ имеем

^{m → ∞}

^{m → ∞}

S = lim P (1 + j/m)^mn = P lim ((1 + j/m)^m)ⁿ (23)

Используя известный из математического анализа второй замечательный предел, можно записать

l

^{m → ∞}

^{m → ∞}

im P (1 + j/m)^m = lim ((1 + j/m)^m/j)^j = e^j

где е — основание натуральных логарифмов.

Подставляя полученное выражение в (23), окончательно получаем наращенную сумму в случае непрерывного начисления процентов по ставке j:

S = P e^jn. (24)

Для того чтобы отличать ставку непрерывных процентов от ставок дискретных процентов, ее называют силой роста и обозначают символом δ. С учетом введенного обозначения равенство (24) принимает вид

S= Ре^δn. (25)

Сила роста представляет собой номинальную ставку процентов при т→∞.

Дисконтирование на основе непрерывных процентных ставок осуществляется по формуле

P = Se^-δn. (26)