Тема 5. Рентные платежи и их анализ

Финансовые ренты: сущность и классификация (регулярные и нерегулярные; постоянные и переменные; ограниченные и бесконечные; постнумерандо и пренумерандо). Параметры финансовой ренты.

Определение наращенной и дисконтированной суммы финансовой ренты по простым процентам.

Наращивание и дисконтирование финансовых рент в условиях ограниченного горизонта расчетов. Расчеты по финансовым рентам в условиях начисления процентов в целом с числом рентных платежей некратных году. Вычисления наращенных и дисконтированных сумм финансовых рент с непрерывным начислением процентов и в условиях неограниченного периода расчетов. Использование таблиц множителей для финансовых рент.

Конверсия рент: выкуп ренты; рассрочка платежей; консолидация. Изменение условий контракта при расчетах.

Теоретические положения темы

Очень часто в контрактах финансового характера предусматривают не отдельные разовые платежи, а серию платежей, распределенных во времени. Примерами могут быть регулярные выплаты с целью погашения долгосрочного кредита вместе с начисленными на него процентами, периодические взносы на расчетный счет, на котором формируется некоторый фонд различного назначения (инвестиционный, пенсионный, страховой, резервный, накопительный и т.д.), дивиденды, выплачиваемые по ценным бумагам, выплаты пенсий из пенсионного фонда и пр. Ряд последовательных выплат и поступлений называют потоком платежей. Выплаты представляются отрицательными величинами, а поступления — положительными.

Обобщающими характеристиками потока платежей являются наращенная сумма и современная величина. Каждая из этих ха­рактеристик является числом.

Наращенная сумма потока платежей — это сумма всех членов последовательности платежей с начисленными на них процентами к концу срока ренты.

Под современной величиной потока платежей понимают сумму всех его членов, дисконтированных (приведенных) на некоторый момент времени, совпадающий с началом потока платежей или предшествующий ему.

Конкретный смысл этих обобщающих характеристик определяется природой потока платежей, причиной, его порождающей.

Например, наращенная сумма может представлять собой итого­вый размер формируемого инвестиционного или какого-либо другого фонда или общую сумму задолженности. Современная величина может характеризовать приведенную прибыль или приведенные издержки.

5.1. Финансовые ренты и их классификация. Поток платежей, все члены которого положительные, а временные интервалы постоянны, называют финансовой рентой, или аннуитетом.

Финансовая рента имеет следующие параметры: член ренты — величина каждого отдельного платежа, период ренты — временной интервал между двумя соседними платежами, срок ренты — время, измеренное от начала финансовой ренты до конца ее последнего периода; процентная ставка — ставка, используемая при наращении или дисконтировании платежей, образующих ренту.

Виды финансовых рент. Классификация рент может быть произведена по различным признаками. Рассмотрим их.

В зависимости от продолжительности периода ренты делят на годовые и р-срочные, где р — число выплат в году.

По числу начислений процентов различают ренты с начислением 1 раз в году, т раз или непрерывно. Моменты начисления процентов могут не совпадать с моментами рентных платежей.

По величине членов различают постоянные (с равными членами) и переменные ренты. Если размеры платежей изменяются по какому-либо математическому закону, то часто появляется возможность вывести стандартные формулы, значительно упрощающие расчеты.

По вероятности выплаты членов различают ренты верные и условные. Верные ренты подлежат безусловной выплате, например при погашении кредита. Выплата условной ренты ставится в зависимость от наступления некоторого случайного события. Поэтому число ее членов заранее неизвестно. Например, число выплат пенсий зависит от продолжительности жизни пенсионера.

По числу членов различают ренты с конечным числом членов, или ограниченные, и бесконечные, или вечные. В качестве вечной ренты выступают, например, выплаты по облигационным займам с неограниченными или нефиксированными сроками.

В зависимости от наличия сдвига момента начала ренты по отношению к началу действия контракта или какому-либо другому моменту времени ренты подразделяются на немедленные и отложенные, или отсроченные. Срок немедленных рент начинается сразу, а у отложенных - запаздывает.

Ренты различают по моменту выплаты платежей. Если платежи осуществляются в конце каждого периода, то такие ренты называются обычными, или постнумерандо. Если же выплаты производятся в начале каждого периода, то ренты называются пренумерандо. Иногда предусматриваются платежи в середине каждого периода.

Анализ потоков платежей в большинстве случаев предполагает расчет наращенной суммы или современной величины ренты.

5.2. Формулы наращенной суммы. Обычная годовая рента. Пусть в конце каждого года в течение n лет на расчетный счет вносится по R руб., сложные проценты начисляются 1 раз в год по ставке i. В этом случае первый взнос к концу срока ренты возрастет до величины , так как на сумму R проценты начислялись в течение п-1 года. Второй взнос увеличится до и т.д. На последний взнос проценты не начисляются. Таким образом, в конце срока ренты ее наращенная сумма будет равна сумме членов геометрической прогрессии

,

в которой первый член равен R, знаменатель (1 + i), число членов п. Как известно из школьного курса алгебры, эта сумма равна

, (59)

где - коэффициент наращения ренты.

Он зависит только от срока ренты п и уровня процентной ставки i.

Задача 14. В течение трех лет на расчётный счет в конце каждого года поступает по 10 млн.руб., на которые 1 раз в год начисляются проценты по сложной годовой ставке 10%. Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Решение. По формуле (59) находим

Годовая рента с начислением процентов m раз в году. Посмотрим, как усложнится формула, если предположить теперь, что платежи делают 1 раз в конце года, а проценты начисляют m раз в году. Это означает, что применяется каждый раз ставка j/m, где j — номинальная ставка процентов. Тогда члены ренты с начисленными до конца срока процентами имеют вид

Если рассмотрим эту последовательность справа налево, то увидим, что перед нами опять геометрическая прогрессия, первым членом которой является R, знаменателем , а число членов равно п. Сумма членов этой прогрессии и будет, наращенной суммой ренты:

(60)

Задача 15. В течение трех лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 10 млн. руб., на которые ежеквартально (т=4) начисляются проценты по сложной годовой ставке 10%. Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Решение. По формуле (60) находим

S= 10[(1 + 0,1/4)³'⁴ - 1]/[(1 + 0,1/4)⁴ - 1] = 33,222 млн.руб.

Рента р-срочная, т=1. Найдем наращенную сумму при условии, что рента выплачивается р раз в году равными платежами, а проценты начисляются 1 раз в конце года. Если R — годовая сумма платежей, то размер отдельного платежа равен R/p. Тогда последовательность платежей с начисленными до конца срока процентами также представляет собой геометрическую прогрессию, записанную в обратном порядке:

у которой первый член R/p, знаменатель , общее число членов пр. Тогда наращенная сумма рассматриваемой ренты равна сумме членов этой геометрической прогрессии:

, (61)

где

(62)

— коэффициент наращения р-срочной ренты при т = 1.

Задача 16. В течение трех лет на расчетный счет в конце каждого квартала поступают платежи равными долями из расчета 10 млн.руб. в год (т.е. по 10/4 млн.руб. в квартал), на которые в конце года начисляются проценты по сложной ставке 10% годовых. Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Решение. По формуле (61) находим

S= (10/4) [(1 + 0,1)³ —1]/[(1 + 0,1)^1/4 - 1] = 34,317 млн руб.

Рента р-срочная, р=m. В контрактах часто начисление процентов и поступление платежа совпадают по времени. Таким образом, число платежей р в году и число начислений процентов т совпадают, т.е. р = т. Тогда для получения наращенной суммы можно воспользоваться аналогией с годовой рентой и одноразовым начислением процентов в конце года, для которой

Различие будет лишь в том, что все параметры теперь характеризуют ставку и платеж за период, а не за год. Таким образом, получаем

(63)

Задача 17. В течение трех лет на расчетный счет в конце каждого квартала поступают платежи равными долями из расчета 10 млн.руб. в год (т.е. по 10/4 млн. руб. в квартал), на которые ежеквартально начисляются проценты по сложной ставке 10% годовых. Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Решение. По формуле (63) находим

S = 10[(1 + 0,1/4)³'⁴ - 1] /0,1 = 34,489 млн руб.

Рента р-срочная, , . Это самый общий случай р-срочной ренты с начислением процентов т раз в году, причем возможно .

Первый член ренты R/p, уплаченный спустя 1/р года после начала, составит к концу срока вместе с начисленными на него процентами

.

Второй член ренты к концу срока возрастет до

и т.д.

Последний член этой записанной в обратном порядке геометрической профессии равен R/p, ее знаменатель — , число членов — пр.

В результате получаем наращенную сумму

(64)

Следует отметить, что из нее легко получить все рассмотренные выше частные случаи, задавая лишь соответствующие значения р и т.

Задача 18. В течение трех лет на расчетный счет в конце каждого квартала поступают платежи (р=4) равными долями из расчета 10 млн.руб. в год (т.е. по 10/4 млн руб. в квартал), на которые ежемесячно (т=12) начисляются проценты по сложной ставке 10% годовых. Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Решение. По формуле (64) находим

S= (10/4) [(1 + 0,10/4)³*⁴—1]/[(1 + 0,10/4)^12/4-1] = 34,5296 млн.руб.

5.3. Формулы современной величины. Обычная годовая рента. Пусть размер годового платежа равен R, процентная ставка i, проценты начисляются 1 раз в конце года, срок ренты п. Тогда дисконтированная величина первого платежа равна

.

Приведенная к началу ренты величина второго платежа равна Rv² и т.д. В итоге приведенные величины образуют геометрическую прогрессию: Rv, Rv², Rv³, ..., Rv", сумма которой

, (65)

где

(66)

- коэффициент приведения ренты.

Как видим, этот коэффициент зависит только от двух параметров: срока ренты п и процентной ставки i. Поэтому его значения могут быть представлены в табличном виде. Такие таблицы можно найти в книгах или построить самим с помощью компьютера.

Задача 19. В течение трех лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 10 млн руб. Ежегодное дисконтирование производится по сложной ставке 10% годовых. Определить современную стоимость ренты.

Решение. По формуле (65) находим

А= 10[1-(1 +0,1)^-3]/0,1 =24,868 млн. руб.

Рента р-срочная, , . Рассуждения, аналогичные приведенным в предыдущем пункте, позволяют получить формулу для расчета современной величины ренты в самом общем случае для произвольных значений р и т:

(67)

От которой нетрудно перейти к частным случаям при различных ри т

5.4. Зависимость между современной величиной и наращенной суммой ренты. Пусть А – современная величина годовой ренты постнумерандо, а S – ее наращенная стоимость к концу срока n, p=1, m=1.

Покажем, что наращение процентов на сумму А за n лет дает сумму, равную S:

(68)

Отсюда же следует, что дисконтирование S дает А:

, (69)

а коэффициенты дисконтирования и наращения ренты связаны соотношениями

(70)

(71)

5.5. Определение параметров финансовой ренты. Иногда при разработке контрактов возникает необходимость определить по заданной наращенной сумме ренты S или ее современной стоимости А остальные параметры ренты: R, n, i, p, т. Такие параметры, как т и р, обычно задаются по согласию двух подписывающих сторон. Остаются параметры R, п, i. Два из них задаются, а третий рассчитывается. Такие расчеты могут быть неоднократно повторены при различных значениях задаваемых параметров, пока не будет достигнуто согласие сторон.

Определение размера ежегодной суммы платежа R. В зависимости от того, какая обобщающая характеристика постоянной ренты задана — S или А, возможны два следующих варианта расчета:

(72)

или

(73)

Определение срока постоянной ренты. Рассмотрим решение этой задачи на примере обычной годовой ренты с постоянными заданными платежами. Разрешая исходные формулы для S и А относительно срока n, получаем соответствующие выражения:

и

(74)

и

Последнее выражение для п, очевидно, имеет смысл только при R >Ai.

Определение ставки процентов. Для того чтобы найти ставку i, будем рассматривать выражения для S или А из (74) как нелинейные уравнения относительно неизвестной i (опять предполагаем, что речь идет о постоянной годовой ренте постнумерандо), которые эквиваленты двум другим:

или . (75)

В этих уравнениях единственным неизвестным является процентная ставка i.

Решение нелинейных уравнений может быть найдено лишь приближенно. Известно несколько методов решения таких уравнений: линейной интерполяции, Ньютона-Рафсона и др. Мы рассмотрим только первый из них.

Прежде всего нужно найти с помощью прикидочных расчетов нижнюю (i_н) и верхнюю (i_в) оценки ставки. Это осуществляется путем подстановки в одну из формул (75) различных числовых значений i и сравнения результата с правой частью выражения. Далее корректировка нижнего значения ставки производится по следующей интерполяционной формуле:

, (76)

в которой s_н и s_в — значения коэффициента наращения (или коэффициента приведения) ренты для процентных ставок i_н и i_в соответственно. Полученное значение ставки проверяют, подставляя его в левую часть исходного уравнения и сравнивая результат с правой частью. Если достигнутая точность недостаточна, повторно применяют формулу (76), заменив в ней значение одной из приближенных оценок ставки на более точное, найденное на предыдущей итерации, и соответствующее ей значение коэффициента наращения (или приведения).

Задания

1. Торговая фирма вкладывает 25 тыс. руб. в конце каждого года в банк, выплачивающий проценты по ставке 5% годовых (сложных). Какая сумма будет на счету фирмы а) через 3 года, б) через 10 лет?

2. Фермер хочет накопить за 6 лет 40 тыс. руб. для покупки трактора, делая ежегодные равные вклады в банк, который выплачивает проценты по ставке i=10% годовых (сложных). Какую сумму должен вкладывать ежегодно фермер?

3. Фермер хочет накопить за 6 лет 40 тыс. руб. для покупки трактора, делая ежемесячные равные вклады в банк, который выплачивает проценты по ставке j₁₂=5%. Какую сумму должен вкладывать ежемесячно фермер?

4. Акционерное общество по производству радиотехники образовало фонд для покупки техники, вкладывая в него ежегодно 300 тыс. руб. При этом каждое полугодие оно делает равные вклады в банк, который выплачивает 5% годовых (сложных). Какая сумма будет на счету АО через 4 года?

5. Акционерное общество по производству радиотехники образовало фонд для покупки техники. При этом каждое полугодие оно делает равные вклады в банк, который выплачивает 5% годовых (сложных). Какую сумму должно вкладывать АО ежегодно, если ему необходимо накопить за 4 года 2 млн. руб.?

6. Предприятие создает фонд для постройки нового здания, вкладывая в него каждые 4 года 15 млн. руб. Деньги кладутся в банк, выплачивающий 5% годовых (сложных). Какая сумма будет в фонде через 16 лет?

7. Предприятие создает фонд для постройки нового здания, делая вклады каждые 4 года. Деньги кладутся в банк, выплачивающий 5% годовых (сложных). Какую сумму должно вкладывать в банк предприятие, чтобы через 20 лет накопить 120 млн. руб., необходимых для постройки здания?

8. Судостроительная фирма кладет в конце каждого года 120000 руб. в банк, который выплачивает сложные проценты по ставке j₆ = 8%. Какую сумму накопит фирма за 10 лет?

9. Судостроительная фирма кладет в конце каждого года в банк некоторую сумму. Банк выплачивает сложные проценты по ставке j₆=8%. Какую сумму должна класть в банк в конце каждого года фирма, чтобы за 10 лет накопить 2 млн. руб.?

10. Судостроительная фирма желает вносить в банк ежеквартально равные суммы (по 30 тыс. руб.). Банк выплачивает сложные проценты по ставке j₆=8%. Какую сумму накопит фирма за 10 лет?

11. Судостроительная фирма желает вносить в банк ежеквартально равные суммы. Банк выплачивает сложные проценты по ставке j₆=8%. Какую сумму должна вносить ежеквартально фирма, чтобы за 15 лет накопить 3 млн. руб.?

12. Банк выплачивает на вложенные в него деньги проценты по ставке j₄ = 3%. Клиент вкладывает в этот банк ежегодно 800 руб., делая равные вклады в конце каждого квартала. Какая сумма будет на счету этого клиента через 5 лет?

13. Банк выплачивает на вложенные в него деньги проценты по ставке j₄=3%. Клиент делает равные вклады в этот банк в конце каждого квартала. Какую сумму должен вкладывать ежегодно клиент, чтобы за 6 лет накопить 6000 руб.?

14. Фермер взял в банке 5 тыс. рублей под 15% годовых на 5 лет. Для погашения долга он образовал страховой фонд, внося в него равные ежегодные взносы и получая на эти деньги 10% годовых. Найдите ежегодную срочную уплату по долгу.

15. Фермер взял в банке 5 тыс. рублей под 15% годовых на 5 лет. Для погашения долга он образовал страховой фонд, внося в него равные ежегодные взносы и получая на эти деньги 8% годовых. Найдите ежегодную срочную уплату по долгу.

16. Фермер взял в банке 5 тыс. рублей под 15% годовых на 5 лет. Для погашения долга он образовал страховой фонд, внося в него равные ежегодные взносы и получая на эти деньги проценты по ставке j₄=10%. Найдите ежегодную срочную уплату по долгу.

17. Фермер взял в банке 5 тыс. рублей под 15% годовых на 5 лет. Для погашения долга он образовал страховой фонд, внося в него равные ежеквартальные взносы и получая на эти деньги проценты по ставке 10% годовых. Найдите ежегодную срочную уплату по долгу.

18. Фермер взял в банке 5 тыс. рублей под 15% годовых на 5 лет. Для погашения долга он образовал страховой фонд, внося в него равные ежеквартальные взносы и получая на эти деньги проценты по ставке j₆=10%. Найдите ежегодную срочную уплату по долгу.

19. Владелец магазина получил в банке ссуду 2 млн. руб. сроком на 3 года. Банк на ссуженные деньги взимает 12% в год. Одновременно владелец магазина создал страховой фонд для погашения ссуды, внося в него равные ежегодные взносы и получая на эти деньги проценты по ставке j₄=8%. Какова ежегодная срочная уплата по долгу?

20. Владелец магазина получил в банке ссуду 2 млн. руб. сроком на 3 года. Банк на ссуженные деньги взимает 12% в год. Одновременно владелец магазина создал страховой фонд для погашения ссуды, внося в него равные ежегодные взносы и получая на эти деньги непрерывные проценты с силой роста 8%. Какова ежегодная срочная уплата по долгу?

21. Нефтедобывающая компания покупает нефтеносный участок, который будет приносить в течение 20 лет доход 5 млн. руб. ежегодно, после чего запасы нефти истощатся. Компания желает получать 12% ежегодного дохода на вложенную сумму. Одновременно она образует страховой фонд, чтобы к моменту истощения запасов нефти на участке накопить сумму, которую она заплатила за этот участок. На деньги, вложенные в фонд, она получает 8% в год. Какую сумму компания должна заплатить за участок?

22. Нефтедобывающая компания покупает нефтеносный участок, который будет приносить в течение 20 лет доход 5 млн. руб. ежегодно, после чего запасы нефти истощатся. Компания заплатила за участок 50 млн. руб. Одновременно она образует страховой фонд, чтобы к моменту истощения запасов нефти на участке накопить сумму, которую она заплатила за этот участок. На деньги, вложенные в фонд, она получает 8% в год. Какую сумму она должна ежегодно вносить в страховой фонд? Каким будет ее ежегодный чистый доход? Сколько процентов от вложенной суммы составит чистый годовой доход?

Современная ценность ренты

1. Какую сумму надо вложить в банк, выплачивающий 5% годовых, чтобы иметь возможность снимать в конце каждого года 500 руб., исчерпав весь вклад к концу десятого года?

2. Какую сумму надо вложить в банк, выплачивающий проценты по ставке j₁₂=5%, чтобы иметь возможность снимать в конце каждого года 500 руб., исчерпав весь вклад к концу десятого года?

3. Какую сумму надо вложить в банк, выплачивающий непрерывные проценты по ставке 5%, чтобы иметь возможность снимать в конце каждого года 500 руб., исчерпав весь вклад к концу десятого года?

4. Какую сумму следует положить в банк, чтобы в течение следующих 10 лет получать ежегодно по 500 руб., снимая эту сумму равными частями каждые 6 месяцев, если банк начисляет на вложенные в него деньги 5% годовых?

5. Какую сумму следует положить в банк, чтобы в течение следующих 10 лет получать ежегодно по 500 руб., снимая эту сумму равными частями каждые 6 месяцев, если банк начисляет проценты по ставке j₃=5%?

6. Какую сумму следует положить в банк, чтобы в течение следующих 10 лет получать ежегодно по 500 руб., снимая эту сумму равными частями каждые 6 месяцев, если банк начисляет непрерывные проценты с силой роста 5%?

7. Какую сумму надо положить в банк, чтобы в течение следующих 26 лет снимать со счета каждые два года по 1000 руб., исчерпав весь счет к концу этого срока, если банк начисляет на деньги, находящиеся на счете, 10% годовых?

8. Какую сумму надо положить в банк, чтобы в течение следующих 26 лет снимать со счета каждые два года по 1000 руб., исчерпав весь счет к концу этого срока, если банк начисляет проценты по ставке j₂=10%?

9. Какую сумму надо положить в банк, чтобы в течение следующих 26 лет снимать со счета каждые два года по 1000 руб., исчерпав весь счет к концу этого срока, если банк начисляет непрерывные проценты с силой роста 10%?

10. Перед выходом на пенсию господин Федоров хочет обеспечить себе ежегодный доход в сумме 5000 руб. Неограниченно долго. Какую сумму он должен положить для этого в банк, выплачивающий 5% годовых?

11. Перед выходом на пенсию господин Федоров хочет обеспечить себе ежегодный доход в сумме 5000 руб. неограниченно долго, снимая деньги ежеквартально. Какую сумму он должен положить для этого в банк, выплачивающий 5% годовых?

12. Перед выходом на пенсию господин Федоров хочет обеспечить себе ежегодный доход в сумме 5000 руб. неограниченно долго, снимая деньги раз в 3 года. Какую сумму он должен положить для этого в банк, выплачивающий 5% годовых?

13. Перед выходом на пенсию господин Федоров хочет обеспечить себе ежегодный доход в сумме 5000 руб. неограниченно долго. Какую сумму он должен положить для этого в банк, выплачивающий проценты по ставке j₆=5%?

14. Перед выходом на пенсию господин Федоров хочет обеспечить себе ежегодный доход в сумме 5000 руб. неограниченно долго, снимая ежеквартально четверть годового дохода. Какую сумму он должен положить для этого в банк, выплачивающий проценты по ставке j₆=5%?

15. Перед выходом на пенсию господин Федоров хочет обеспечить себе ежегодный доход в сумме 5000 руб. неограниченно долго. При этом он желает снимать со счета ежеквартально четверть годового дохода. Какую сумму он должен положить для этого в банк, выплачивающий проценты по ставке j₄=5%?

16. Перед выходом на пенсию господин Федоров хочет обеспечить себе ежегодный доход в сумме 5000 руб. неограниченно долго, снимая деньги раз в 3 года (по 15000 руб.). Какую сумму он должен положить для этого в банк, выплачивающий проценты по ставке j₆=5%?

17. Перед выходом на пенсию господин Федоров хочет обеспечить себе ежегодный доход в сумме 5000 руб. неограниченно долго. Какую сумму он должен положить для этого в банк, начисляющий на деньги непрерывные проценты с силой роста 5%?

18. Перед выходом на пенсию господин Федоров хочет обеспечить себе ежегодный доход в сумме 5000 руб. неограниченно долго, снимая со счета ежеквартально четверть годового дохода. Какую сумму он должен положить для этого в банк, начисляющий на деньги непрерывные проценты с силой роста 5%?

19. Перед выходом на пенсию господин Федоров хочет обеспечить себе ежегодный доход в сумме 5000 руб. неограниченно долго. При этом он желает снимать деньги раз в 3 года (по 15000 руб.). Какую сумму он должен положить для этого в банк, начисляющий непрерывные проценты с силой роста 5%?

20. Фермер приобрел трактор в кредит за 12000 руб. За кредит он должен платить 5% годовых и выплатить весь долг за 4 года. Найти размер ежегодной срочной уплаты и составить план погашения долга.

21. Фермер приобрел трактор в кредит за 12000 руб. За кредит он должен платить 5% годовых. Составьте план погашения долга, если срочная годовая уплата установлена в размере 3500 руб.

22. Фермер приобрел трактор в кредит за 12000 руб. За кредит он должен платить 5% годовых и выплатить весь долг за 4 года. Составьте план погашения долга, если фермер сделает 2 срочные уплаты: по одной каждые 2 года.

23. Господин Иванов купил в кредит автомобиль, который стоит 80 тыс. руб. Он обязался вернуть долг в течение года, делая равные ежемесячные срочные уплаты. Найти величину срочной уплаты и составить план погашения долга, если на долг магазин начисляет 10% годовых.

24. Господин Иванов купил в кредит автомобиль, который стоит 80 тыс. руб. Он договорился с магазином, что он будет делать ежемесячные срочные уплаты величиной по 7,5 тыс. руб. Составьте план погашения долга, если на долг магазин начисляет 10% годовых.

25. Владелец дома планирует произвести через 15 лет капитальный ремонт, на который ему потребуется 12 млн. руб. Он может ежегодно вкладывать для этой цели в банк 600 тыс. руб. Под какие проценты он должен вложить эти деньги, чтобы накопить необходимую сумму?

26. Господин Петров собирается положить в банк на счет своего сына 180000 руб., чтобы тот в течение 5 лет учебы в университете мог снимать в конце каждого года со счета 40 тыс. руб., исчерпав весь вклад к концу учебы. Какой процент для этого должен платить банк?

27. Какую сумму денег Вы будете готовы внести в Пенсионный фонд для того, чтобы выйдя на пенсию в течение всей оставшейся жизни иметь годовой доход в размере 80 тыс.руб. Процентная ставка составляет 20%.