13.2 Дирихле есебі үшін торлар әдісі.

Бiрiншi шектiк есеп немесе Пуассон теңдеуi үшiн

(2)

Дирихле есебi: Қандай да бiр G облысының iшiнде (2) теңдеудi қанағаттандыратын, ал Г шекарасында

(3)

шартын қанағаттандыратын формуласын табу керек, мұндағы – берiлген үзiлiссiз функция.

және қадамдарын сәйкес х және у деп таңдап, тор тұрғызамыз және әрбiр iшкi түйiнiнде туындыларын (1) ақырлы айырымдар қатынасымен алмастырып (2) теңдеудi мына түрде жазамыз:

(4)

мұндағы

функциясының мәндерiне қатысты сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесiн бередi.

Дербес жағдай. Егер G облысы тiк төртбұрыш және болса, онда (4) теңдеулер былайша жазылады:

Егер болғанда (2) Лаплас теңдеуі деп аталады.

және сәйкес ақырлы-айырымдық теңдеулер келесi түрде жазылады:

және теңдеулердi жазған кезде келесi түйiндер сұлбасы қолданылды:

2-сурет

Дифференциалдық теңдеудi айырымдық теңдеумен алмастыру қателiгi, яғни Лаплас теңдеуi үшiн қалдық мүше келесi теңсiздiкпен бағаланады:

мұндағы

Айырымдық әдiспен алынған жуықтаң шешiмнiң қателiгi келесi үш қателiктерден құралады:

1. Дифференциалдық теңдеудi айырымдық теңдеумен ауыстырғандағы қателiктен;

2. Шеттiк шарттарды жуықтау қателiгiнен;

3. Айырымдық теңдеулер жүйесiн жуықтап шешу нәтижесiнде пайда болатын қателiктерден.

МЫСАЛ

Қабырғасы 1-ге тең, оқшауланған жазық шаршы пластинкадағы жылудың станционар үлестірімі туралы есепті пластинканың шекарасында температура тұрақты болған жағдайда қарастырайық.

3-сурет

Температураның үлестірімін беретін ( , ) функциясы Лаплас теңдеуінің шешімі болатыны белгілі:

Берілген есеп үшін шекаралық шарттар 3-суретте көрсетілген.

Шешуі:

қадаммен тор құрамыз, тоғыз ішкі тораптар аламыз. Осы тораптарда ақырлы-айырымдық теңдеулер құрамыз.

Шекаралық шарттардың симметриялылығын

₁₁= ₃₁, ₁₂= ₃₂, ₁₃= ₃₃ (1)

Бұл функциясының ішкі тораптардағы белгісіз мәндерінің санын тоғыздан алтыға дейін азайтады.

Осылайша (3,1), (3,2), (3,3) тораптарда ақырлы-айырымдық теңдеулерді жазудың қажеті жоқ. Қалған ішкі (1,1), (2,1), (1,2), (2,2), (1,3), (2,3) тораптарда сәйкес алты теңдеуді аламыз:

Бұл теңдеулер құрамына тағы функцияның шекаралық нүктедегі 12 мәні кіреді. Ол мәндерді біз шекаралық шарттардан аламыз:

(3)

Қалған тораптарға шекаралық шарттар қолданылмайды.

(2), (3) шарттарды ескере отырып, нақты түрде келесі жүйені аламыз:

Бұл жүйені Гаусс әдісімен шешіп, алатынымыз:

39