2.1. Алгебралық және трансцендент теңдеулерді сандық шешу. Графиктік әдіс.

2.2. Жартылай Қақ бөлу (дихотомия) әдісі.

2.1. Алгебралық және трансцендент теңдеулерді сандық шешу. Графиктік әдіс.

Айталық

(1)

теңдеуінің түбірлерін анықтау керек, мұнда - қандай да бір ақырлы немесе ақырсыз аралығында анықталған және үзіліссіз функция.

Анықтама 1. фунқциясын нөлге айналдыратын, қандай да бір x мәні (1) теңдеудің түбірі деп аталады.

Анықтама 2. f(x) функциясының анықталу облысына тиісті (1) теңдеудің тек бір ғана түбірі жататын аралықтарын анықтау теңдеудің түбірлерін жекешелеу деп аталады.

Анықтама 3. Түбірлерді жекешелеу кезінде анықталған аралықтағы теңдеудің түбірі үшін қабылданған бастапқы жуықтауды  дәлдіктің дәрежесіне дейін жеткізуді түбірді дәлдеу деп атайды.

(1) теңдеудің тек бір түбірі жатқан кіші аралықты анықтау үшін математикалық талдау курсынан келесі теорема колданылады.

Теорема. Егер аралығында анықталған, әрі үзіліссіз фунқциясы және нүктелерінде қарама - қарсы таңбалы мәндерді қабылдаса, яғни

(2)

теңсіздігі орындалса, онда осы аралықта (1) теңдеуінің кем дегенде бір түбірі болады.

Ал егер осындай функциясының туындысы бар болып және ол осы аралығында таңбасын өзгертпесе, онда аралығында (1) теңдеудің жалғыз түбірі болады.

(1)-ші теңдеудің нақты түбірлері қайсысының Ох осімен қиылысқан нүктелерінің абсциссалары болғандықтан түбірлерді жекешелеуді графиктік әдіспен анықтасақ болады.

Графиктік әдісінің алгоритмі:

1. (1) теңдеуді өзімен пара-пар теңдеумен алмастыруға болады

мұндағы – функциялары функциясына қараған-да қарапайым фунқциялар болуы тиіс;

2) және функцияларының графиктерін саламыз;

3) осы графиктердің қиылысу нүктелерінің абсциссаларын анықтаймыз;

4) Егер табылған абсциссалар мәндері (2) теңсіздікті қанағаттандырса, онда осы графиктердің қиылысу нүктелерінің абсциссалары берілген теңдеудің ізделінді түбірлері болып табылады. Егер (2) теңсіздік орындалмаса, онда 3-ші пунктке ораламыз.

2.2. Жартылай Қақ бөлу (дихотомия) әдісі.

(1) теңдеу берілсін. функциясы кесіндісінде үзіліссіз болсын және (2) теңсіздік орындалсын. кесіндіде жатқан (1) теңдеудің түбірін табу үшін осы кесіндіні қақ ортасынан бөлеміз.

Егер болса, онда берілген теңдеудің түбірі болып табылады, ал кері жағдайда, егер ,

онда кесіндіні қарастырамыз, әйтпесе кесіндіні қарастырамыз.

Әрі қарай , яғни немесе кесіндісін тағы қақ бөлеміз. Нәтижесінде қандай да бір қадамда не (1) теңдеудің дәл түбірін аламыз, не бір бірінің ішінде орналасқан шектеусіз тізбектерді аламыз.

(3)

жағдайда итерациялық процесті тоқтатамыз. Шешімнің қателік бағасының формуласы

.

МЫСАЛ 1.

теңдеудің түбірлері жатқан аралықты табу керек.

Шешуі.

1) , яғни ;

2) Осы функциялардың графиктерін саламыз

3) .

4) ,

яғни .

Жауабы: .

МЫСАЛ 2.

теңдеудің [1; 1,1] кесіндісінде жататын түбірін жартылай (қақ) бөлу әдісімен дәлдігі 0,01 болғанда табу керек.

Шешуі.

1қадам. , онда

, ,

яғни (2) теңсіздік орындалмайды, сондықтан келесі кескінін қарастырамыз .

2 қадам. , онда ;

, ,

яғни (2) теңсіздік орындалмайды. (3) теңсіздікті тексереміз

.

Сондықтан кескінін қарастырамыз.

3 қадам. онда ;

,

(3) теңсіздікті тексереміз:

,

сондықтан кескінін қарастырамыз.

4 қадам. , онда ;

, ,

яғни (2) теңсіздік орындалады. (3) теңсіздікті тексереміз

.

Жауабы: .

Бақылау сұрақтары:

1. Теңдеулерді шешуде сандық әдістерді қолданудағы түбірді бөлу этапы немен аяқталады?

2. Графикалық тәсілмен түбірді бөлу есептеулер арқылы қалай іске асырылады? Бұл жағдайда бір айнымалыдан тәуелді функциялардың қай қасиеттері қолданылады?

3-4 Дәріс. Хордалар және жанамалар әдістері.