7.1. Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесiн шешудің итерация
әдісі.
7.2. Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесiн шешудің Зейдель
итерациясы әдісі.
7.1. Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесiн шешудің итерация
әдісі.
Сызықтық теңдеулер жүйесінде белгісіздер саны көп болған жағдайда жүйенің түбірлерін табу үшін жуықталған сандық әдістерді қолданған ыңғайлы.
(1)
сызықтық
теңдеулер жүйесі берілсін және
деп үйғарайық Берілген (1) жүйені нормаль
(келтірілген) жүйеге келтірейік
(2)
мұндағы
егер
;
,
егер
.
Бастапқы жуықтау ретінде бос мүшелерді аламыз
.
Жалпы
алғанда (2) жүйеден
-ші
жуықтау келесі формулалар арқылы
табылады
(3)
Егер келесі шарттардың ең болмағанда біреуі орындалса
(4)
немесе
.
(5)
онда (3) итерация процесі бастапқы жуықтауды таңдауға тәуелсіз осы жүйенің жалғыз шешіміне жинақталады, яғни
.
Итерация процесін
(6)
болғанда тоқтатамыз, мұнда қандайда бір аз шама.
7.2. Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесiн шешудің Зейдель итерациясы әдісі.
(2)-ші
келтірілген сызықтық теңдеулер жүйесі
берілсін. Түбірдің бастапқы жуықтауын
еркін түрде таңдаймыз. Зейдель әдісі
бойынша түбірдің
+1
жуықтауын келесі формула бойынша
есептейміз
Итерация әдісінде қарастырылған шарттар Зейдель әдісі үшін де тура. Зейдель әдісі итерация әдісіне қарағанда жақсы жинақталады.
МЫСАЛ 1.
Сызықтық
алгебралық теңдеулер жүйесін итерация
әдісімен
болғанда шешу керек
Шешуі.
Берілген жүйені (2) түрге келтіру үшін
және
коэффициенттерін табамыз
(4) шарттарды табылған Сіj қанағаттандырады
,
,
.
Осыдан (3) жүйені аламыз:
Бастапқы жуықтау ретінде бос мүшелерді аламыз
.
Бірінші
жуықтау
Екінші
жуықтау
(6) теңсіздікті тексереміз
,
,
.
(6) шарттар орындалмаған соң келесі үшінші жуықтауды есептейміз, яғни к=3 болғанда
үшінші және екінші жуықтаударда табылған -тердің мәндері (6) теңсіздікті қанағаттандырады
,
,
.
Сондықтан, итерация процесін тоқтатып, жауабын аламыз
МЫСАЛ 2.
Сызықтық
алгебралық теңдеулер жүйесін Зейдель
әдісімен
болғанда
шешу керек
.
Шешуі. Итерация процесіндегі келтірілген жүйені келесі түрде аламыз
Бастапқы
жуықтау ретінде итерация әдісімен
табылған мәндерді аламыз:
.
Жауабы:
.
Бақылау сұрақтары:
Бастапқы жуықтауды таңдаудың итерациялық әдістердің итерациялық процестерінің сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесінің шешіміне жинақталуына әсері қандай?
Зейдель әдісінің итерациялық процесінің қарапайым итерацияның итерациялық процесінен қандай өзгешілігі бар?
8-Дәріс. Матрицаның өзіндік мәндерінің мәселелері.
8.1. Матрицаның меншікті мәндерін және меншікті векторларын
табу.
8.2. А.Н.Крылов әдісі.
8.3. А.П.Данилевский әдісі.
8.1. Матрицаның меншікті мәндерін және меншікті векторларын
табу.
Математиканың,
механиканың және физиканың көптеген
есептерiн шешкенде
түрiндегi теңдеудiң түбiрлерiн есептеу,
А матрицасының меншiктiк векторын және
меншiктiк мәндерiн анықтау талап етiледi.
сызықтық емес алгебралық теңдеулер
жүйесi
белгiсiзiмен берiлсiн.
мұндағы
А матрицаның сипаттамалық теңдеуi төмендегi түрде берiледi
(1)
Бұл
теңдеудiң түбiрi
А
матрицасының меншiкті мәндерi. Әрбiр
меншiктiк мән үшiн
бар.
0-ге тең емес жүйесi үшiн
(2)
Барлық меншiктiк векторды есептеу үшiн (2) түрiндегi n теңдеулер жүйесiн шешу керек, мұнда дәл және итерация әдiстерiн қарастыруға болады.