2. Қайталамалы орналастырулар
Есеп.
X (
)
жиынының элементтерінен құруға болатын
ұзындығы r
–ға тең барлық реттелген
жиынтық санын анықтау керек, егер әрбір
элементі барлығы Х
жиынынан алынса.
реттелген
жиынтық –
Х
жиынының біріңғай r
көбейткішінен тұратын
декарттық көбейтіндінің элементтері.
Көбейту ережесі бойынша
жиынының элементтер саны
тең. Біз
формуласын енгіздік.
Мысал. Егер барлық он цифрды қолдансақ, қанща төрт орынды нөмір құруға болады?
Мұнда
,
және телефон нөмірлерінің
саны
тең.
Қайталаусыз орналастырулар
Есеп. Х жиынының n элементінен қанша реттелген жиынтығын құруға болады, егер жиынтықтың барлық элементтері әр түрлі болса?
Бірінші
элементін n
тәсілмен таңдап алуға болады.
Егер бірінші элементі таңдап алынған
болса, онда екінші
элементін тек
тәсілмен ғана таңдап алуға болады, ал
егер
элемент
таңдап алынған болса
,
онда
элементін
тәсілмен таңдап алуға болады. (таңдап
алынған элементті қайталауға болмайды).
Көбейту ережесі бойынша мынаны аламыз
Бұл формуланы белгілеудің
көмегімен басқаша былай жазуға болады
.
болғандықтан,
онда
.
Мысал. Егер олимпиадаға 20 адам қатысса, онда қаншама әр түрлі жеңімпаздар тізімі болуы мүмкін?
Мұнда
,
ізделінді сан
3. Қайталанбайтын алмастырулар
Қайталанбайтын алмастырудың
дербес жағдайын қарастырайық: егер
болса, онда алмастыруға
Х
жиынының барлық элементтері қатысады,
яғни іріктеменің құрамы бірдей және
бір бірімен тек қана элементтердіяғни
іріктеменің құрамы бірдей және бір
бірімен тек қана элементтердің реті
бойынша ғана өзгешеленеді.
Мұндай іріктемелер алмастырулар деп
аталады. n
элементтен алынған алмастырулар санын
деп белгілейді:
Мысал. Егер жалақы алуға 6 адам келсе, онда кассаға неше тәсілмен кзекке тұруға болады?
.
Қайталамалы алмастырулар
Айталық X
жиыны әр түрлі k
элементтен тұрсын:
.
құрамды қайталамалы алмастырулар деп
ұзындығы
болатын реттелген жиынтықты айтамыз,
бұда
элементі
рет кездеседі
.
Осындай алмастырулар санын
деп белгілейді.
Мысал. Из
букв
әріптерінен
құрамды қайламалы алмастыру жазайық.
Оның ұзындығы
,
сонымен қатар a
әрпі 2 рет, b
– 2 рет, c
– бір рет кіреді. Мұндай алмастыруға
мысалы мынау жатады:
немесе
.
Қайталамалы алмастырулар
санының формуласын қорытып шығарайық.
Алмастыруға енетін әр түрлі индексті,
біріңғай элементті нөмірлейік, яғни
алмастыруының орнына
аламыз. Енді алмастырудың барлық
элементтері әр түрлі, ал мұндай
алмастырулардың саны
тең. Бірінші элемент іріктемеде
рет кездеседі. Бірінші элементтің
индексін алып тастайық (біздің мысалда
мына алмастыруды аламыз
),
сонымен қатар әр түрлі алмастырулар
саны
рет кемиді, себебі біріңғай элементтердің
өзгеруінен біздің іріктемеміз өзгермейді.
Екінші элементтің индексін алып тастаймыз
– алмастыру саны
рет кемиді. Және тағы сол сияқты k
нөмірлі элементке дейін –алмастыру
саны
ретке дейін кемиді.
формуласын аламыз.
Мысал. “передача” сөзіндегі әріптерді алмастыру арқылы қанша әр түрлі «сөз» алуға болады?
Бұл сөзде “е” және
“а” әріптері екі рет кездеседі,
ал қалғандары бір реттен кездеседі.
встречаются два раза, остальные по
одному разу. Ұзындығы
болатын
құрамды қайталамалы алмастыру жайлы
сөз болып отыр. Мұндай
алмастырулар саны
тең.