3. Пікірлер логикасының формулалары

Пікірлер логикасының әліпбиіне екі арнайы әріп А және Ж, олар логикалық тұрақтылар «ақиқат» және «жалған» дегенді білдіреді. Осы символдардың көмегімен біз логикалық пікірлердің формулаларын, әрбір амалды жақшаның ішіне ала отырып, құрамыз:

.

2.1 кестеде логикалық амалдар дәрежесінің төмендеу реті бойынша жазылған. Осыны ескеретін болсақ, онда жоғарыда келтірілген формуланы қысқаша былай жазуға болады: .

Пікірлер логикасында айнымалының кез келген мәнінде «ақиқат» мәнін қабылдайтын формулалардың маңызы зор. Мұндай формулаларды тавтология (немесе тепе-тең ақиқат формулалар) деп аталады.3

Ең болмағанда бір айнымалылар тізімінің жиынтығында «ақиқат» мәнін қабылдайтын формулаларды орындалатын деп атайды. Айнымалылардың кез келген мәнінде «жалған» мәнін қабылдайтын формулаларды қарама- қайшылық деп атайды (тепе-тең жалған, орындалмайтын) ( 2.2 кесте).

2.2 кесте

Пікірлер логикасының формулалары

Орындалатын формулалар		орындалмайтын
Тавтологиялар А	Қалғандары	Қарама- қайшылық Ж

Пікірлер логикасында берілген формула тавтология болатын болмайтындығын әрқашан анықтауға болады, ол үшін оның ақиқаттылық кестесін құру жеткілікті.

Мысалы: формуласы тавтология бола ма?

F формуласы үшін ақиқаттылық кестесін құрайық (2.3 кесте).

2.3 кесте

Ақиқаттылық кестесі

X	Y	XY	 X	(XY)  X
И	И	И	Л	Л
И	Л	Л	Л	И
Л	И	И	И	И
Л	Л	И	И	И

Формула «жалған» мәнін X=А, Y=Ж айнымалылар жиынтығында қабылдайды, бұдан, бұл тавтология болып табылмайды; бұл орындалатын формула.

Формулаларды тепе – тең түрлендіру

және формулалары тепе –тең деп аталады, егер олар өз айнымалыларының кез келген мәнінде біріңғай ақиқат мәнән қабылдаса.

Мысалы. және формулаларының тепе – теңдігін көрсетейік. Ол үшін ақиқаттылық кестесін құрайық. ( 2.4 кесте).

2.4. кесте

Ақиқаттылық кестесі

X	Y	X
И	И	Л	И	И
И	Л	Л	Л	Л
Л	И	И	И	И
Л	Л	И	И	И

Кестенің соңғы екі бағанын салыстыра отырып, олардың бір – біріне толығымен сәйкес келетіндігін байқаймыз, яғни .

Кез келген екі теңбе – тең ақиқат формулалар тепе –тең, окез келген екі теңбе – тең жалған формулалар тепе – тең болатындығы айқын.

Пікірлер логикасындағы формулалар жиынындағы тепе – теңдік қатынасы эквиваленттілік қатынас болып табылады, себебі ол рефлексивтілік (кез келген F формуласы үшін ), симметриялық (егер болса, онда ), транзитивтілік (егер және болса, онда ) қасиеттеріне ие. Осы қатынастың арқасында пікірлер логикасының формулаларының барлық жиыны тепе – тең формулалар классына бөлінеді.

Негізгі тепе теңдіктер(2.5 кесте) – пікірлер логикасының заңдары – ақиқаттылық кестесінің көмегімен дәлелденеді.

2.5 кесте

Пікірлер логикасының негізгі тепе теңдіктері

№	Формула	Атауы
1		Үшіншіні шығарып тастау заңы
2		Қарама – қайшылық заңы
3		Коммутативтілік заңы
4		Ассоциативтілік заңы
5		Дистрибутивтілік заңы
6		Екі рет терістеу заңы
7		Идемпотенттілік заңы
8		Де Морган заңы
9		Жұту заңы
10		Жабыстыру заңы
11		Импликацияны алмастыру
12		Эквиваленцияны алмастыру

Мысалы. Пікірлер логикасының негізгі тепе теңдіктерін қолданып (2.5 кесте), және формулаларының тепе тең екендігін көрсету керек.

Бірінші формуланы түрлендірейік:

формуласы формуласынан тепе тең түрлендірулер тізбегінен алынған (тепе теңдік белгісінің үстінде 2.5 кестедегі қолданылған заңның нөмірі көрсетілген), бұдан, .

Ұсынылған әдебиеттер:

1. Нұрсұлтанов Қ.Н., Дискретті математика және математикалық логика. – Семей 2002.

2. Судоплатов С.В., Овчинникова Е.В. Элементы дискретной математики. –М.: ИНФРА-М, Новосибирск: изд-во НГТУ, 2002.

3. Смыслова З.А.. Дискретная математика (Учебное пособие), Томск, 2000.

4. Қ.Жетпісов., Математикалық логика және дискретті математика. Алматы, 2011.

5. Шапорев С.Д. Математическая логика. Курс лекций и практических заниятий.- СПБ.: БХВ-Петербург 2005. - 416стр.

6. Тишин В.В. Дискретная математика в задачах и примерах. БХВ-Петербург 2008.

Дәріс 8-9

Дәріс сабақтың құрылымы:

Логикалық тұжырымдар

1. Логикалық дұрыс тұжырымның анықтамасы

2. Логикалық тұжырымның дұрыстығын тексеру

3. Дәлелдеудің түзу және жанама әдістері