1. Логикалық дұрыс тұжырымның анықтамасы

Математикалық логика, өздерінің мазмұнына қарамастан барлық дәлелдеулерде, тұжырымдардағы барлық жалпылықтарды зерттейді. Біз бір логикалық D сөйлемі басқа бір Р логикалық сөйлемнен шығады деп айтқанда, мынаны меңзейміз: әрқашан Р сөйлемі ақиқат болса, онда D сөйлемі де ақиқат болады. Пікірлер логикасында біз қандай да бір хабарлы айнымалыларына тәуелді P және D формулаларымен жұмыс жасаймыз.

Анықтама. формуласынан логикалық тұрғыдан формуласы шығады деп айтамыз және оны P D деп белгілейміз, егер кез келген мәндер жиынтығы үшін шартынан шарты шғатын болса.

P формуласы посылка деп, ал D – логикалық тұжырымның қорытындысы деп аталады.

Мысалы. формуласы логикалық тұрғыдан формуласынан шығады, яғни . Бұған ақиқаттылық кестесін құру арқылы көз жеткізуге болады. (2.7 кесте).

2.7 кесте

Ақиқаттылық кестесі

X	Y
А	А	Ж	Ж
А	Ж	Ж	Ж
Ж	А	А	А
Ж	Ж	Ж	А

Расында да, егер ( болған кезде) болса, онда және анықтама бойынша P D болады. Егер болса, онда D формуласы кез келген ақиқат мәндерін қабылдай алады.

Логикалық тұжырымдарда көбінесе бір ғана P посылка емес, бірнеше посылкалары қолданылады. Бұл кезде ( D) тұжырым логикалық тұрыдан дұрыс болады, егер D – посылкалар конъюнкциясынан логикалық тұрғыда қорытынды шығады.

Мысал. Y тұжырымы логикалық тұрғыдан дұрыс болатындығын көрсетейік. Посылканының конъюнкциясын құрайық және P D логикалық тұжырымның дұрыстығын ақиқаттылық кестесі бойынша тексерейік (мұнда ) (2.8 кесте).

2.8 кесте

Ақиқаттылық кестесі

X	Y		P	D
А	А	А	А	А
А	Ж	Ж	Ж	Ж
Ж	А	А	Ж	А
Ж	Ж	А	Ж	Ж

Логикалық тұжырымның анықтамасы орындалады, ендеше бұл тұжырым логикалық тұрғыдан дұрыс болады.

Логикалық дұрыс тұжырымдарды тұжырымдардың схемасы түрінде жазамыз:

Сонымен, соңғы мысалдағы тұжырымның логикалық дұрыс схемасы мына түрге ие болады:

2. Логикалық тұжырымның дұрыстығын тексеру

Қандай тәсілдермен логикалық тұжырымның дұрыстығын тексеруге болады?

Бірінші тәсіл – анықтама бойынша:

а) барлық посылкалар мен қорытындыларды логикалық тұжырымдар формуласы түрінде жазу;

б) Түрленген посылкалардың конъюнкциясын құру ;

в) ақиқаттылық кестесі бойынша D қорытындысы формуласынан шығатындығын тексеру.

Екінші тәсіл төмендегідей логикалық тұрғыдан шығу белгісіне негізделген.

Теорема. D формуласы логикалық тұрғыдан P формуласынан сонда тек сонда ғана шығады, қашан формуласы тавтология болса.

Дәлелдеуі. Айталық P D болсын, онда барлық P = А айнымалылар мәндерінің жиынтығынан D = А шығады. Бұл дегеніміз, барлық айнымалылар жиынтығы үшін болады, себебі формуласы тек бір ғана жағдайда «жалған» мәнін қабылдайды, қашан P =А, ал D =Ж, алайда бұндай жағдай шартқа сәйкес келмейді. Бұдан – тавтология.

Керісніше, айталық – тавтология болсын, яғни . Бұдан импликация амалының анықтамасы бойынша мынадай қорытынды жасаймыз: P =А, ал D =Ж болғаан кезде мұндай айнымалылардың жиытығы болмайды. Ендеше, P D .

Дәлелденген теоремаға сәйкес, логикалық тұжырымның дұрыстығын тексеру мынадай сұрақтың жауабына сәйкес келеді: формуласы тавтология бола ма? Бұл сұраққа жауап беру үшін формуласының ақиқаттылық кестесін құру керек немесе бұл формуланы тепе тең түрлендірулердің көмегімен белгілілі тавтологияға келтіру керек. Мысалы, Y логикалық тұжырымы үшін пікірлер логикасының заңдары бойынша (2.5 кесте) мынаны аламыз:

Логикалық тұрғыдан шығу белгісіне сәйкес берілген тұжырым логикалыұ дұрыс болады.

Логикалық тұжырымның дұрыстығын тексерудің үшінші тәсілін қысқартылған деп атаймыз, себебі ол ақиқаттық кестесін құру үшін айнымалылар мәнін толық таңдап алуды қажет етпейді. Бұл тәсілді негіздеу үшін логикалық тұжырым дұрыс болмайтындай бір шартты қоямыз. Тұжырым дұрыс емес болады, егер посылка , ал қорытынды D( ) =Ж болатындай, айнымалылар мәндерінің жиынтығы табылса.

Қысқартылған тәсілдің негізгі мазмұны төмендегідей тұжырамдалады.

Айталық D формуласының логикалық тұрғыдан посылкасынан шығуының дұрыстығын тексеру керек болсын.

Айталық, барлық посылкалар ақиқат, ал қорытындылар жалған болатындай жиынтығы бар болсын деп жориық және осы жиынтықты тауып көрейік. Егер осындай жиынтықты тапсақ, онда біздің ұсынысымыз дұрыс болады, және тұжырым логикалық тұрғыдан дұрыс болады. Егер бұндай жиынтықты іздеу процессі кезінде біз қайшылыққа кездессек, онда біздің ұсынысымыз қате, ал тұжырым логикалық дұрыс болады.

Мысал. Y логикалық тұжырымның дұрыстығын қысқыртылған тәсілдің көмегімен тексерейік .

Айталық посылка ақиқат, ал қорытынды жалған болатындай жиынтығы бар болсын. Бұл ұсынысты кесте түрінде көрсетейік (2.9 кесте).

2.9 кесте

Логикалық тұжырымның дұрыстығын тексеру

№	ақиқат	жалған	Ескертпе
1			 бұл  біздің  ұсынысымыз
2
3
4			2, 3-тен және импликацияның анықтамасынан

Кестенің төртінші жолына А, ал Ж екенін ескеріп, импликациясын жазайық. Кестенің бірінші және төртінші жолында қарама – қайшылыққа келеміз. Бұдан Y тұжырымы логикалық дұрыс болады.

Егер осындай тәсілдің көмегімен посылкасы және қорытындысы бар логикалық тұжырымның дұрыстығын тексерсек, онда біз ешқандай қарма- қайшылықтың жоқ екендігіне көз жеткіземіз, бірақ посылка ақиқат, ал қорытынды жалған болатындай Ж, А мәндері бар болады. Бұдан, бұл логикалық тұжырым дұрыс емес.

Логикалық дұрыс тұжырымдарды қорытынды ережесі деп аталатын тұжырымның дайын логикалық кестесінің көмегімен құруға болады (2.10 кесте).

2.10 кесте

Қорытынды ережесі

ереже	атауы
B	Бөлу ережесі (БЕ)
B	Терістеу ережесі (ТЕ)
	Конъюнкцияны енгізу (КЕ)
A	Конъюнкцияны жою (КЖ)
A	Дизъюнкцияны енгізу (ДЕ)
, A	Дизъюнкцияны жою (ДЖ)
	Тізбектеу ережесі (ТЕ)

Мысал. “Егер далада жаңбыр жауып тұрса онда мысық не бөлмеде, немесе жертөледе. Тышқан бөлмеде немесе ұясында. Егер мысық жертөледе болса, онда тышқан бөлмеде. Егер мысық бөлмеде болса, онда тышқан ұясында, ал ірімшік тоңазытқышта. Қазір далада жаңбыр жауып тұр, ал ірімшік үстелдің үстінде жатыр. Мысық қай жерде және тышқан қай жерде?

Белгілеу енгізейік:

Ж – “жаңбыр жауып тұр”;

М – “мысық бөлмеде”;

Р – “мысық жертөледе”;

Т – “тышқан бөлмеде”;

Н – “тышқан ұясында”;

Х – “ірімшік тоңазытқышта”;

Х – “ірімшік үстелдің үстінде”.

Келесідей тұжырымдау схемасын аламыз

Қорытынды ережесін қолданайық (2.5 кесте).

1) Ж (УК);

2) (УК);

3) (1, ПО).

Енді мынадай екі нұсқаны қарастырайық.

А нұсқасы. Айталық М орын алсын делік. Онда

4а) , М (А, ПО);

5а) Х (УК, 4а);

6а) (2,5а) –

Біз қайшылыққа келдік, ендеше бұл ұсынысымыз қате және бұл нұсқа мүмкін емес.

Б нұсқасы. Айталық Р орын алсын делік. Онда

4б) Т (Б, ПО);

5б) Р, Т (Б,4б,ВК).

қорытындысын аламыз, яғни “мысық жертөледе, ал тышқан бөлмеде”.

Осылайша, қорытынды ережесінің көмегімен берілген посылкалар арқылы қорытынды аламыз, яғни логикалық тұжырым жүргіземіз.