5. Эквиваленттілік қатынасы

M, S, H үш қатынасты қарастырайық. М қатынасы 1.2.4 –те сипатталған. S қатынасын X барлық үшбұрыштар жиынында келесідей түрде береміз: бұл қатынасқа x ұшбұрышының ауданы y үшбұрышының ауданына тең болатындай үшбұрыштар жұбы тиісті.

Н қатынасы Томск қаласы тұрғындары жиынында орындалады, және х және у бірдей өлшемді бас киім киетін жұбынан тұрады.

Осы үш қатынастың қасиеттері 1.2 кестеде келтірілген, мұнда Р –рефлексивтілікті, АР – антирефлексивтілікті, С – симметриялылықты, АС - антисимметриялықты, НС – симметриялы еместікті, Т – транзитивті қатынасты білдіреді. Жаттығу ретінде бинарлық қатынастардың қасиеттерін пайдаланып, кестенің дұрыс толтырылуын тексеріңіз.

1.2 кесте

Қатынастың қасиеттері

Қатынас	Р	АР	С	АС	НС	Т
М	+	-	+	-	-	+
S	+	-	+	-	-	+
H	+	-	+	-	-	+

Көріп отырғанымыздай, қатынастар біріңғай қасиеттерге ие болады, сондықтан да оларды бір түрге жатқызады.

Анықтама. R қатынасы Х жиынында эквивалентті деп аталады, егер ол рефлексивті, симметриялы, транзитивті қасиеттерге ие болса.

Осылайша, M, S, H қатынастары сәйкес Х жиынының эквиваленттік қатынасы болып табылады. Эквиваленттік қатынастың негізгі ерекшелігі олар барлық Х жиынын қиылыспайтын ішкі жиындар –эквиваленттілік қатынасқа бөледі.

Анықтама. туындаушы элементі бар эквиваленттілік класс деп Х жиынының ішкі жиынын айтады, оның элементтері үшін шарты орындалады. Осылайша, эквиваленттілік класс болады.

М қатынасы жиынын үш эквиваленттілік классқа бөледі: . Туындаушы элементі 4 болатын класс [1]; [5] = [2], [3] = [6], [7] = [1] классымен сәйкес келеді.

Эквиваленттік класстар біріккенде барлық Х жиынын беретін Х жиынының бос емес қиылыспайтын ішкі жиынын құрайды, яғни Х жиынының бөліктеуін құрайды. (1.1.6 қараңыз).

Эквиваленттілік қатынасты “  “ деп белгілейді, сондықтан да эквиваленттілік класстың анықтамасын былай жазуға болады: .

6. Реттік қатынастар

1.2.4 –тегі G, L қатынастарын, 1.2.2-гі Q қатынасын және бүтін сандардың барлық ішкі жиындар жиынының V ену қатынасын қарастырайық (B(Z) –Z жиынының булеаны): B (Z) .

1.3 кесте

Қатынастың қасиеттері

Қатынас	Р	АР	С	АС	НС	Т
G	-	+	-	-	+	+
L	+	-	-	+	-	+
Q	+	-	-	+	-	+
V	+	-	-	+	-	+

Көріп отырғанымыздай, қасиет бойынша бұл қатынастар екі түрге бөлінеді.

Анықтама. Х жиынында рефлексивті, антисимметриялы, транзитивті қасиеттерге ие болатын R қатынасы Х жиынында реттік қатынас деп аталады. (оны “” деп белгілейді).

Анықтама. Х жиынында рефлексивті, антисимметриялы, транзитивті қасиеттерге ие болатын R қатынасы қатаң реттік қатынастар деп аталады. Таким образом, отношения L, Q, V являются отношениями порядка на соответствующих множествах, а отношение G – отношением строгого порядка.

Ұсынылған әдебиеттер:

1. Нұрсұлтанов Қ.Н., Дискретті математика және математикалық логика. – Семей 2002.

2. Судоплатов С.В., Овчинникова Е.В. Элементы дискретной математики. –М.: ИНФРА-М, Новосибирск: изд-во НГТУ, 2002.

3. Смыслова З.А.. Дискретная математика (Учебное пособие), Томск, 2000.

4. Қ.Жетпісов., Математикалық логика және дискретті математика. Алматы, 2011.

5. Шапорев С.Д. Математическая логика. Курс лекций и практических заниятий.- СПБ.: БХВ-Петербург 2005. - 416стр.

6. Тишин В.В. Дискретная математика в задачах и примерах. БХВ-Петербург 2008.

Дәріс 4

Дәріс сабақтың құрылымы:

Шектеулі және шектеусіз жиындар

1. Биекция. Теңқуатты жиындар.

2. Теңқуатты жиындар классы. Жиындарды қуаты бойынша салыстыру.

3. Ақырлы жиынның анықтамасы. Ақырлы жиындардың қасиеттері.

4. Саналымды жиынның анықтамасы. Саналымды жиынның қасиеттері

5. Саналмайтын жиындар. Нәтиже.