4. Саналымды жиынның анықтамасы

X жиынын саналымды деп атаймыз, егер ол N натурал сандар жиынына тең қуатты болса.

1 мысал. Айталық X тақ натурал сандар жиыны болсын. X жиыны саналымды екенін көрсетейік. Ол үшін Х жиынының натурал сандар жиынына биекциясын орнату керек, яғни Х жиынының элементтерін Х-ң әрбір элементіне тура бір нөмір, ал кез келген натурал санға Х-ң бір элементі сәйкес келуі керек. N, сәйкестігі осы шарттарды қанағаттандыратындығы айқын:

Осылайша, X=N және X саналымды.

2 мысал. Айталық X=NN –N жиынын өзіне декарттық көбейтіндісі болсын X жиыны саналымды болатындығын көрсетейік. Х жиынының барлық элементтерін матрица түрінде (1.22 сурет) орналастырайық және оның элементтерін «диагоналы бойынша» нөмірлейік: 1 нөмірін (1,1) элементіне, 2 нөмірін –(2,1) элементіне, 3 – (1,3) және т.с.с.

Алынған X-ң N-ға бейнелеуі сондай-ақ, биекция болып табылады (алайда 1 мысалға қарағанда формуланы айқын түрде жазу қиынырақ болады).

Саналымды жиынның қуатын ₀ деп белгілейміз. Біз X=₀, деп жазсақ, онда біз X жиыны саналымды дейміз, яғни натурал сандар жиыны сияқты эквиваленттілік классқа жатады. Ал N жиыны саналымды жиынның эталоны(үлгісі) болып саналады.

Саналымды жиынның қасиеті

С аналымды жиындар классы кез келген басқа ақырсыз жиындар классының сол жағында қуаттар қатарында орналасқан. (1.23 сурет).

Бұндай тұжырым келесі саналымды жиын туралы теоремадан шығады.

1 Теорема. Саналымды жиынның кез келген ішкі жиыны ақырлы және саналымды.

Айталық X – саналымды жиын, ал –оның кез келген ішкі жиыны болсын. Занумеруем элементы множества жиынының элементтерін нөмірлейік және кішкентай нөмірге ие болатын және Y жиынына тиісті элементті, оны деп белгілейік, таңдап алайық. Бұдан кейін жиынын қарастырайық және ондағы Y жиынына тиісті кішкентай нөмірлі элементті табайық , оны деп белгілейік, және т.с.с. Егер біз n-ші қадамда жиынында Y жиынының элементтері болмаса, онда Y ақырлы және Y=n. Керісінше жағдайда (егер бұл үрдіс шексіздікке дейін жалғасса) Y жиыны саналымды болады, себебі оның элементтерінің нөмірлеу әдісі көрсетілген.

2 Теорема. Барлық ақырсыз жиындардың саналымды ішкі жиыны болады.

Айталық X –ақырсыз жиын болсын. Кез келген элементін таңдап алайық. X ақырсыз болғандықтан, онда . -гі кез келген элементін деп белгілейік. Одан ары қарай табамыз. Поскольку X ақырсыз болғандықтан, бұл үрдіс элементтердің «жетіспеушілігінен» үзілмейді, және біз Х жиынының саналымды Y жиынын аламыз: .

3 Теорема. Саналымды жиынның ақырлы немесе саналымды санының бірігуі саналымды жиын болып табылады. Айталық , мұндағы - саналымды жиындар. Біз олар қос-қостан қиылыспайды деп есептейік (керә жағдайда біз жиынынан қос-қостан қиылыспайтын жиынына көшеміз және ). Х жиынының барлық элементін ақырсыз кесте түрінде жазайық:

Мұнда бірінші жолда жиынының элементтері, екіншісінде – және т.с.с. жазылған. Бұл элементтерді «диагоналы бойынша» нөмірлейік , сонымен қатар X және N жиындарының арасында биекция орнатылады, яғни X – саналымды жиын.

4 Теорема. Айталық X ақырсыз жиын , ал Y – саналымды болсын. Онда .

Теорема бойынша саналымды жиындар элементін қосқаннан ақырсыз жиынның қуаты артпайды.

Дәлелдеу. жиынын қарастырайық және оны қиылыспайтын жиындарының бірігуі түрінде елестетейік, мұндағы . Y жиыны саналымды болғандықтан, онда ақырлы немесе саналымды ( 1 теорема бойынша). X жиыны ақырсыз, ендеше ішкі жиыны бар болады ( 2 теорема бойынша). Онда , ал

.

3 теорема бойынша саналымды, яғни . Сондықтан . Теорема дәлелденді.