3. Бинарлық қатынастарды беру тәсілдері

Бинарлық қатынастарды сипаттауыш қасиеттерді көрсету арқылы немесе оның барлық элементтерін тізіп шығу арқылы беруге болады. Бинарлық қатынастарды сондай-ақ, көрнекі түрде: графиктңк қатынас, схемалық қатынас,графтық қатынас, матрицалық қатынас түрінде де беруге болады.

Г рафиктік қатынас декарттық координаталар жүйесінде бейнеленеді; горизонталь өсте анқталу облысын, вертикаль өсте – қатынастың мәндер облысы бейнеленеді; элементу отношения ( х,у ) қатынасының элементіне осы координаталарымен жазықтықтың нүктелері сәйкес келеді. 1.8 ,а суретте 2 мысалдағы Q қатынасының графигі келтірілген.

Қатынас схемасы екі вертикаль түзудің көмегімен бейнеленеді, оның сол жағы қатынастың анықталу облысына , ал оң жағы мәндер облысына сәйкес келеді. Егер ( х,у ) элементі R қатынасына сәйкес келсе, онда және алынған сәйкес нүктелер түзумен қосылады. 1.8 ,б суретте 2 мысалдағы Q қатынасының схемасы келтірілген.

қатынасының графы келесідей түрде бейнеленеді. Жазықтықта кез келген ретпен Х жиынының элементтері бейнеленеді. х және у нүктелер жұбы доғамен қосылады (бағытталған кесіндімен) сонда тек сонда ғана қашан ( х,у ) жұбы R қатынасына тиісті болса.1.9 ,а суретте 2 мысалдағы Q қатынасының графы келтірілген.

қатынасының матрицасы – бұл әрбір жолы және бағаны қандай да бір Х жиынының элементтеріне сәйкес келетін квадраттық кесте. Егер ( х,у ) жұбы R қатынасына тиісті болса, яғни , онда х жолы мен у бағанының қиылысуында 1 қойылады, ал матрицаның қалған элементтері нөлдермен толтырылады. Матрицаның элементтері екі индекспен нөмірленеді, біріншісі жолдың нөміріне, екіншісі бағанның нөміріне тең. Айталық . Онда қатынасының матрицасы n жолдан және n бағаннан тұрады, ал оның элементі мына ереже бойынша анықталады:

1 .9, б суретте 2 мысалдағы Q қатынасының матрицасы келтірілген.

4. Бинарлық қатынастың қасиеттері

Бинарлық қатынастар өздерінің қасиеттері бойынша бірнеше түрлерге бөлінеді. жиынында төмендегідей қатынастарды қарастырайық_:

3-ке бөлінеді}

Х жиынында R қатынасы рефлексивті деп аталады егер барлық үшін шарты орындалса. Жоғарыда келтірілген қатынастардың ішінде L қатынасы (себебі теңсіздігі барлық үшін орындалады ) жєне М (себебі _{айырымы 3-ке бөлінеді, ендеше ж±бы барлық үшін} М қатынасына тиісті) рефлексивті болады.

Х жиынында R қатынасы антирефлексивті деп аталады егер ешбір мәнінде шарты орындалмаса. Антирефлексивтік қатынастың мысалы ретінде G қатынасын келтіруге болады. (неравенство теңсіздігі х –тің ешбір мәнінде орындалмайды, бұдан ешбір жұбы G қатынасына тиісті емес). К қатынасы рефлексивті емес екенін және антирефлексивті емес екенін ескере кетейік.

R қатынасы Х жиынында симметриялы деп аталады, егер шартынан шықса. М қатынасы симметриялы болып табылады (егер 3-ке бөлінсе, онда -те 3-ке бөлінеді) және К қатынасы да симметриялы (егер , онда ).

R қатынасы Х жиынында симметриялы емес деп аталады, егер кез келген үшін шартынан шықса. G қатынасы симметриялы емес болып табылады, себебі және шарттары бір уақытта орындала алмайды ( немесе жұбының тек біреуі ғана G қатынасына тиісті).

R қатынасы Х жиынында антисимметриялы деп аталады, егер кез келген үшін және шартынан шықса. Антисимметричным является отношение L қатынасы антисимметриялы болып табылады, себебі бір уақытта және орындалуынан шығады.

R қатынасы Х жиынында транзитивті деп аталады, егер кез келген үшін бір уақытта және шарттарының орындалуынан шықса. G, L, M қатынастары транзитивті болып табылады, ал К қатынасы транзитивті емес: егер болса, онда және болады, бірақ , яғни және шарттары орындалады, бірақ .