1. Биекция

Б ұдан былай біз өзара бірмәнді бейнелеу (биекция) түсінігінқолданамыз. Ескерте кетейік, бейнелеуі сонда тек сонда ғана биекция болады, қашан Х жиынының әрбір х элементінің жалғыз ғана бейнесі бар, ал әрбір элементі жалғыз ғана түп бейнесі болады, яғни . Сонымен Х және У жиындар арасындағы сәйкестік 1.18, а суретте биекция болып табылады, ал 1.18, б, в –суретте биекция болмайды. (себебін түсіндіріңіз).

Теңқуатты жиындар

Анықтама. X және Y жиындарын тең қуатты деп атаймыз, егер X жиынының Y жиынына биекциясы бар болса.

Мысал. және жиындары теңқуатты екендігін көрсетейік. Расында да, биекциясын орнатуға болады, мысалы заңы бойынша. (1.19, а сурет). X және Y жиындарының арасындағы биекцияны геометриялық жолмен де орнатуға болады. (рис. 1.19, б сурет). Кесіндінің сол жақ ұшы арқылы l түзуі жүргізілген, ал оң жақ ұшы арқылы m түзуі жүргізілген. l және m түзулерінің қиылысу нүктесін М деп белгілейік. М нүктесінен екі кесіндіні де қиып өтетін сәуле жүргіземіз; сонымен қатар бірінші кесіндідегі сәулемен қиылысу нүктесіне екінші кесіндінің сәулемен қиылысуының жалғыз ғана нүктесі сәйкес келеді (және керісінше).

2. Тең қуатты жиындар классы

1.4.2 енгізілген тең қуатты қатынастар эквиваленттілік қатынас “  “болып табылады. Расында да, ол рефлексивті: әрбір Х жиыны үшін орындалады (Х теңқуатты Х-ке), себебі Х жиынының Х-қа теңбе-тең бейнелеуі бар болады. Бұл қатынас симметриялы: егер X -ң Y-ке биекциясы бар болса, онда кері бейнелеу де сондай-ақ биекция болады (егер , онда ). Қатынас транзитивті: егер және биекциялары бар болса, онда сәйкестігі X-ті Z-ке биективті бейнелейді (егер және , онда ).

Эквиваленттілік қатынастың қасиеті бойынша ( 1.2.5 қараңыз) барлық жиындардың қиылыспайтын теңқуатты жиындарға бөліктеуін аламыз. Әрбір классқа –кардиналды сан деп ат қояйық. Осылайша, кардиналды сан дегеніміз – бұл барлық теңқуатты жиындарда бар сол жалпылық. Жиынның кардиналды санын немес Х деп белгілейміз. Құр жиынның кардиналды саны  =0 болады; барлық шектеулі жиындар үшін кардиналды сан жиындағы элементтердің санына сәйкес келеді, ал шектеусіз жиындардың кардиналды санын белгілеу үшін  (алеф) әрпін қолданады. Кардиналды сан түсінігі шектеусіз жиындардағы «элементтер санын» жалпылайды.

Жиындарды қуаты бойынша салыстыру

Теңқуатты жиындардың эквиваленттік классын кардиналды сандардың өсу реті бойынша орналастырайық: .

Шектеулі жиындар үшін бұл қиындық туғызбайды: бұл шектеулі жиындар үшін Х жиынының элементтерінің саны Y жиынының элементтерінің санынан кіші, және теңқуатты жиындар классы тізбегінде X классы Y классының сол жағында орналасқан. Ал шектеусіз жиындар үшін X<Y теңсіздігі нені білдіреді? Төмпендегідей белгілекулер енгізейік:

1) Егер X және Y жиындары бір эквиваленттік классқа тиісті болса, онда былай жазамыз X=Y;

2) Егер Х жиынының эквиваленттілік классы кардинал сандар қатарында Y эквиваленттілік классының сол жағында орналасса, онда X<Yбелгілеуін қолданамыз;

3) Егер Х жиынының эквиваленттілік классы Y эквиваленттілік классының оң жағында орналасса, онда X>Y.

Төменде дәлелдеусіз келтірілген теорема шектеусіз жиындардың теңқуаттылығын орнатуға мүмкіндік береді.

Кантор-Бернштейн теоремасы. Айталық X және Y екі шектеусіз жиын болсын. Егер Х жиынында Y жиынына теңқуатты ішкі жиыны бар болса, онда Х және Y жиындары теңқуатты.

Мысал. Айталық болсын. X=Y болатындығын көрсетейік. Непосредственно биекцию X –ң Y-ке биекциясын құру қиынға соғады, себебі X - отрезок с включенными концами, а Y – открытый интервал.

К антор-Бернштейн теоремасын қолданайық. Х жиынының ішкі жиыны ретінде ашық интервалын алайық. Биекция -ң Y-қа биекциясын оңай орнатуға болады, мысалы: заңы бойынша ( 1.20 сурет) , (0;1) интервалының интервалына өзара бірмәнді бейнелеуі орындалады.

ішкі жиыны ретінде Y –тің кез келген тұйық интервалын аламыз, мысалы . 1.4.1 бөлімшеде [1;3]=[0;1]болатындығы көрсетілген ( биекциясы бар болады). Осылайша, Кантор-Бернштейн теоремасының шарты орындалады, ал бұдан және жиындары тең қуатты (X=Y).