Задания к практическим занятиям

1.Пусть задано уравнение y^'=0,04y и начальные условия y(0)=1000.

а) Вычислите y(1), используя метод Эйлера с h=1.

б) Вычислите y(1), используя метод Эйлера с h=0,5.

в) Вычислите y(1), используя метод Эйлера с h=0,25.

г) Вычислите y(1), используя решение уравнения y=1000e^0,04t .

2.Степень радиоактивности пропорциональна количеству остающегося радиоактивного вещества. Дифференциальное уравнение записывается поэтому в виде: y^'=-ky, где знак минус отражает тот факт, что радиоактивность убывает с течением времени. Предположим, что k=0,01 и что в начальный момент времени имеется 100г радиоактивного вещества. Сколько вещества останется в момент времени t=100?

Решение этого уравнения имеет вид y=100e^-kt , точный ответ равен 36,788г. Найдите решение численно с помощью:

а) Метода Эйлера, h=25.

б) Метода Эйлера, h=10.

в) Метода Эйлера, h=5.

г) Метода Эйлера, h=1.

д) Исправленного метода Эйлера, h=20.

е) Исправленного метода Эйлера, h=10.

ж) Модифицированного метода Эйлера, h=20.

з) Модифицированного метода Эйлера, h=10.

и) Метода Рунге-Кутта четвертого порядка, h=100.

к) Метода Рунге-Кутта четвертого порядка, h=500.

л) Метода прогноза и коррекции второго порядка с h=20, причем известно, что y(20)=81,8731 точно.

м) Метода прогноза и коррекции с h=10, причем известно, что y(10)=30,4837 точно.

3.Тело с начальной массой 200кг ускоряется постоянной силой в 200 Ньютон. Масса тела уменьшается на 1кг/сек. Если в момент t=0 тело находилось в покое, найдите его скорость через 50 сек. Дифференциальное уравнение записывается в виде решение этого уравнения

так, что V(50)=575,36. Решите уравнение численно, используя:

а) Метод Эйлера, h=10.

б) Метод Эйлера, h=5.

в) Метод Эйлера, h=2.

г) Модифицированный метод Эйлера, h=10.

д) Метод Рунге-Кутта четвертого порядка, h=10.

е) Метод прогноза и коррекции, h=10.

4.Предположите, что тело, описанное в упражнении 3, испытывает сопротивление воздуха, равное удвоенному значению скорости. Дифференциальное уравнение запишется теперь в виде и если тело покоится при t=0, то решение равно V=10t-t²/40, так что V(50)=437,5. Решите уравнение численно, используя:

а) Метод Эйлера, h=10.

б) Исправленный метод Эйлера, h=10.

в) Модифицированный метод Эйлера, h=10.

г) Метод Рунге-Кутта четвертого порядка, h=10.

д) Метод прогноза и коррекции, h=10.

5.Дано уравнение y'=4-2x и начальное условие y(0)=2. Решите это уравнение, используя исправленный метод Эйлера и модифицированный метод Эйлера, принимая h=0,5 и продолжая решение вплоть до x=5. Сравните результат с решением y=-x²+4x+2. Можно ли ожидать то, что метод Эйлера так же дает точный результат? Для какого типа уравнения можно получить точный результат с помощью метода Эйлера?

6.Дано уравнение y'=-x/y и начальное условие y(0)=20. Вычислите y(24), используя:

а) Модифицированный метод Эйлера, h=2.

б) Метод Рунге-Кутта четвертого порядка, h=4.

Что при этом произойдет?

7.Дано уравнение y'=(6y+2x+1)/x и начальное условие

y(1)=-17/30. Вычислите y(4), используя метод прогноза и коррекции с h=1. Произведите те же вычисления, взяв в качестве начального условия y(1)=-16/30.

8.Дано уравнение y'=xy²+3xy и начальное условие y(0)=-0,5. Вычислите y(3) используя метод прогноза и коррекции с h=0,5.

9.Дано уравнение y'=cosx-sinx-y и начальное условие y(0)=2. Вычислите решение уравнения вплоть до x=10, используя метод прогноза и коррекции с h=0,5. Покажите, что полученное решение обладает абсолютной устойчивостью. Аналитически решение уравнения можно записать в виде y=cosx+e^-x .

10.Дано уравнение и начальное условие y(1)=0. Вычислите решение уравнения вплоть до x=5, используя метод прогноза и коррекции с h=0,2. Покажите, что хотя абсолютная ошибка и возрастает, относительная ошибка не увеличивается. Аналитическое решение уравнения равно y=x²(e^x-e).

Вопросы к экзамену

1.	Понятие математической модели. Понятие алгоритма
2.	Расчет процессов и схем теплоэнергетических установок.
3.	Выбор метода решения
4.	Выбор целевой функции
5.	Принципы построения математических моделей конструктивных элементов теплоэнергетического оборудования. Оптимизация конструкции.
6.	Алгоритмы решения и программы расчетов различных математических моделей.
7.	Использование готовых оболочек и программ математического обеспечения ЭВМ для построения
8.	Особенности математических моделей.
9.	Динамические математические модели
10.	Статические математические модели
11	Особенности методов решения для многоуровневых иерархических математических моделей
12.	Увязка уровней в иерархически сложной модели
13.	Иерархическая структура математических моделей сложных объектов.
14.	Устойчивость решения
15.	Оценка погрешности математического моделирования
16.	Корректность математических моделей
17	Расчет процессов и схем распределения нагрузки между агрегатами тепловых электрических станций
18	Принципы и способы построения математических моделей. Этапы создания математических моделей..
19	Свойства математических моделей. Типы математических моделей

Методика оценивания практических занятий:

- 15 баллов выставляется студенту, если работа выполнена самостоятельно; представлен письменный отчет, грамотно и логично оформлены результаты расчетов, расчеты занесены в аналитические таблицы, сформулированы выводы и рекомендации по полученным данным;

- 10 баллов выставляется студенту, если работа выполнена, представлен письменный отчет, составлены расчеты, сделаны выводы по результатам работы;

- 5 баллов выставляется студенту, если студент не до конца справился с заданием, не совсем верно произвел расчет плановых показателей деятельности предприятия, однако оформил отчет по результатам работы.

- 0 баллов выставляется студенту, если студент не справился с заданием, неверно произвел расчет плановых показателей деятельности предприятия, не оформил отчет по результатам работы.

Методика оценивания на экзамене.

Ответ на экзамене оценивается исходя из 40 баллов (максимум).

Полный ответ на билет оценивается максимум в 30 баллов, предполагает свободное изложение (не чтение) всего необходимого материала, ответы на уточняющие вопросы, если они есть.

Правильный ответ на дополнительные вопросы оценивается максимум в 10 баллов.

Компетенция «ПК-4 готовность к обеспечению бесперебойной работы, правильной эксплуатации, ремонта и модернизации энергетического, теплотехнического и теплотехнологического оборудования, средств автоматизации и защиты, электрических и тепловых сетей, воздухопроводов и газопроводов»

Дисциплина «Принципы эффективного управления технологическими процессами в теплоэнергетике, теплотехнике и теплотехнологии»