7 Одноканальная и многоканальная система массового обслуживания (смо) с ожиданием и ограничением на длину очереди.

Одноканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди

Рассмотрим одноканальную СМО с ожиданием.

Система массового обслуживания имеет один канал. Входящий поток заявок на обслуживание поток имеет интенсивность λ. Интенсивность потока обслуживания равна μ (т. е. в среднем непрерывно занятый канал будет выдавать μ обслуженных заявок). Длительность обслуживания — случайная величина, подчи­ненная показательному закону распределения. Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания. Рассмотрим систему с ограниченной очередью. Предположим, что независимо оттого, сколько требований по­ступает на вход обслуживающей системы, данная система (очередь + обслуживаемые клиенты) не может вместить более N-требований (заявок), из которых одна обслуживается, а (N-1) ожидают, Клиенты, не попавшие в ожидание, вынуждены об­служиваться в другом месте и такие заявки теряются. Наконец, источник, порождающий за­явки на обслуживание, имеет неограниченную (бесконечно боль­шую) емкость. Обозначим   - вероятность того, что в системе находится n заявок. Эта величина вычисляется по формуле:       Здесь   - приведенная интенсивность потока.  Тогда вероятность того, что канал обслуживания свободен и в системе нет ни одного клиента, равна:  . С учетом этого можно обозначить            Определим характеристики одноканальной СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди, равной (N-1):      вероятность отказа в обслуживании заявки:      P_отк=Р_N=      относительная пропускная способность системы:            абсолютная пропускная способность:      А=q∙λ;      среднее число находящихся в системе заявок:            среднее время пребывания заявки в системе:       ;      средняя продолжительность пребывания клиента (заявки) в очереди:      W_q=W_s- 1/μ;      среднее число заявок (клиентов) в очереди (длина очереди):      L_q=λ(1-P_N)W_{q .}

Многоканальная СМО с ожиданием

Процесс массового обслуживания при этом характеризуется следующим: входной и выходной потоки имеют интенсивности λ и μ соответственно, параллельно обслуживаться могут не более С клиентов, то есть система имеет С каналов обслуживания. Средняя продолжительность обслуживания одного клиента равна   .          Вероятности того, что в системе находятся п заявок (С обслуживаются, остальные ожидают в очереди) равна:             где    .      Решение будет действительным, если выполняется следующее условие:             

8 Одноканальная и многоканальная система массового обслуживания (смо) с отказами.

Одноканальная СМО с отказами

 Простейшей одноканальной моделью с вероятностными входным потоком и процедурой обслуживания является модель, характери­зуемая показательным распределением как длительностей интерва­лов между поступлениями требований, так и длительностей обслу­живания. При этом плотность распределения длительностей интер­валов между поступлениями требований имеет вид    где λ — интенсивность поступления заявок в систему (среднее число заявок, поступающих в систему за единицу времени). Плотность распределения длительностей обслуживания:       ,   где   – интенсивность обслуживания, t_об – среднее время обслуживания одного клиента.  Пусть система работает с отказами. Можно определить абсолютную и относительную пропускную способность системы.   Относительная пропускная способность равна доли обслуженных заявок относительно всех поступающих и вычисляется по формуле:  . Эта величина равна вероятности Р₀ того, что канал обслуживания свободен.  Абсолютная пропускная способность (А) — среднее число заявок, которое может обслужить система массового обслуживания в единицу времени:  Вероятность отказа в обслуживании заявки будет равна вероятности состояния «канал обслуживания занят»:       . Данная величина Р_отк может быть интерпретирована как средняя доля необслуженных заявок среди поданных.

Многоканальная СМО с отказами

В подавляющем большинстве случаев на практике системы массового обслуживания является многоканальными, то есть параллельно могут обслуживаться несколько заявок, и, следовательно, модели с  обслуживающими каналами (где число каналов обслуживания n>1) представляют несомненный интерес. Процесс массового обслуживания, описываемый данной моделью, характеризуется интенсивностью входного потока  λ, при этом параллельно может обслуживаться не более n клиентов (заявок). Средняя продолжительность обслуживания одной заявки равняется   1/μ. Режим функционирования того или иного обслуживающего канала не влияет на режим функционирования других обслуживающих каналов системы, при чем длительность процедуры обслуживания каждым из каналов является случайной величиной, починенной экспоненциальному закону распределения. Конечная цель использования параллельно включенных обслуживающих каналов заключается в повышение (по сравнению с одноканальной системой) скорости обслуживания требований за счет обслуживания одновременно  n клиентов.  Решение системы имеет вид:       ; где       ,   . Формулы для вычисления вероятностей    называются формулами Эрланга.

     Определим вероятностные характеристики функционирования многоканальной СМО с отказами в стационарном режиме:      вероятность отказа:    . Так как заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все каналы заняты. Величина Р_отк характеризует полноту обслуживания входящего потока; вероятность того, что заявка будет принята к обслуживанию (она же – относительная пропускная способность системы) дополняет Р_отк до единицы:       .      абсолютная пропускная способность             среднее число каналов, занятых обслуживанием ( ) следующее:              Величина   характеризует степень загрузки СМО.