1. Основные сведения

Суть метода скоростного градиента заключается в следующем: настройка параметров осуществляется в направлении, противоположном скорости изменения целевого функционала вдоль траектории обобщенного настраиваемого объекта (ОНО). Алгоритмом скоростного градиента (АСГ) называется правило изменения вектора настраиваемых коэффициентов (), задаваемое уравнением вида

(2.1)

где  – дифференциальный оператор, Г = Г^Т > 0 – квадратная матрица коэффициентов передачи,

здесь Q(.) – целевой функционал; f(x, , t) – вектор-функция, описывающая ОНО,

(.) – некоторая вектор-функция, удовлетворяющая условию псевдоградиентности

АСГ вида (2.1) называют алгоритмом в конечно-дифференциальной форме. Частным случаем (2.1) являются алгоритмы в дифференциальной форме (в случае  = 0)

(2.2)

и в конечной форме (для Г = 0)

,

где  – шаг дискретизации.

Рассмотрим пример синтеза системы с параметрической адаптацией. Объект управления задан моделью в пространстве состояний

(2.3)

где xRⁿ, u R^m – векторы состояния и входа ОУ; А, B – неизвестные матрицы коэффициентов.

Эталонная модель выбрана в форме

(2.4)

где rR^m – задающее воздействие; А_м – гурвицева матрица.

Цель управления сформирована относительно координатного рассогласования

(2.5)

где e (t) = x (t) – x_м(t). Предлагаем выполнение условия управляемости объекта и наблюдаемости координат состояния.

Пусть целевой функционал выбран в форме скалярной квадратичной функции

(2.6)

Поставленная цель управления выполняется, если Q  0 при t  .

Уравнение основного контура можно получить модальным методом, т.е. разрешив уравнение

относительно u (t):

,

или

. (2.7)

«Идеальное» управление можно записать в форме

(2.8)

где матрицы k_*^x, k_*^r удовлетворяют условию

. (2.9)

Матрицы идеальных значений коэффициентов регулятора k_*^x, k_*^r существуют, если выполняются ранговые условия

Реальный закон управления имеет вид

(2.10)

где k^x(t), k^r(t) – матрицы настраиваемых коэффициентов регулятора,

Для определения вида алгоритма адаптации требуется вычислить производную целевого функционала (2.6) в силу уравнений системы (2.3), (2.4), (2.10):

(2.11)

После подстановки (2.10) в (2.11) имеем

. (2.12)

Определим скоростные градиенты

,

.

Для алгоритмов настройки коэффициентов выбираем АСГ в дифференциальной форме (2.2)

(2.13)

где Г =  I,  > 0.

Система (2.3), (2.4), (2.10), (2.13) относится к системам с параметрической адаптацией. На основе АСГ можно синтезировать системы с сигнальной и сигнально- параметрической адаптацией. Системы с алгоритмом адаптации (2.13) сохраняют работоспособность при изменении координатных и параметрических возмущений в широких пределах. Качество процессов ухудшается, если скорость изменения параметрических возмущений высокая.

С целью повышения быстродействия в контурах параметричес- кой настройки коэффициентов регулятора можно применять пропор-ционально-интегральные алгоритмы адаптации в дифференциальной форме:

(2.14)