1.3.3. Cвойства преобразования Фурье
Преобразование Фурье, как было показано, служит инструментом для представления функций времени через экспоненциальные (гармонические) составляющие с различными частотами, то есть возможны два равнозначных способа определения сигналов во временной и частотной областях. Выясним, как влияют определенные действия, совершаемые над сигналом в одной области, на его вид в другой области. К примеру – как при изменении длительности импульса изменяется ширина его частотного спектра, что произойдет со спектром сигнала, если этот сигнал сдвинуть по времени, и т.д.?
Можно заметить, что в уравнениях, определяющих функцию в обеих областях, существует определенная симметрия. Поэтому следует ожидать, что указанная симметрия должна отражаться и на свойствах преобразований. Убедимся, что это действительно так.
Свойство симметрии
Свойство симметрии прямого и обратного преобразований Фурье можно сформулировать следующим образом:
если s(t)= A(t) и соответствующий ему спектр S(f) = F [s(t)] = В(f),
то сигналу s(t)= B(t) соответствует спектр S(f)=F [s(t)]= A(f). (1.22)
Так, например, если для постоянного по уровню сигнала (постоянного тока) частотный спектр представляет собой дельта-функцию, то для сигнала в виде дельта-функции частотный спектр равномерен (постоянен) на всех частотах (рис. 1.8).
Рис. 1.8
Свойство линейности
Свойство линейности преобразования Фурье можно сформулировать следующим образом: спектр суммы сигналов равен сумме их спектров, иными словами, если
s(t) = a1s1(t) + a2s2(t), то S (f) = F [s(t)] = a1F [s1(t)] + a2F [s2(t)]. (1.23)
Свойство изменения масштаба
Это свойство формулируется следующим образом:
если S (f) = F [s(t)] , то F [s(a t)] = 1/a S ( f /a). (1.24)
Иными словами: сжатие в а раз функции s(t) по временной шкале приведет к растяжению во столько же раз функции S(f) по частотной шкале. И наоборот, с учетом симметрии сжатие в а раз спектра сигнала по оси частот приведет к расширению в а раз по временной оси его обратного преобразования Фурье, то есть самого временного сигнала (рис. 1.9).
Рис. 1.9
Свойство частотного сдвига
Свойство частотного сдвига состоит в следующем:
если S( f) = F [s(t)], то F [s(t)exp(j2π f0 t)]= S(f + f0 ). (1.25)
Иными словами, если сигнал S(t) умножить на экспоненту вида exp(j2π f0 t) (на комплексную синусоиду), то спектр этого сигнала S(f) сдвинется по оси частот на величину f0 . Данное свойство преобразования Фурье широко используется в радиотехнических устройствах (преобразование частоты сигнала, гетеродинирование и т.п.).
С учетом симметричности прямого и обратного преобразований Фурье аналогичным образом можно сформулировать свойство временного сдвига или задержки.
Свойство временного сдвига
Если F [s(t)] = S( f), то F [s(t τ)] = S( f) exp(j2π f τ)], (1.26)
то есть при временном сдвиге сигнала его амплитудный спектр не изменяется, а фазовый спектр приобретает дополнительное слагаемое, линейно зависящее от частоты.
Теорема о свертке
Свертка сигналов является очень часто используемым в радиотехнике интегральным преобразованием сигналов, поскольку описывает прохождение сигнала через линейную систему с постоянными параметрами (усилители, фильтры, дифференцирующие и интегрирующие звенья и т.п.). Операция свертки записывается следующим образом:
∞
s(t) = ∫ f() h(t – )d. (1.27)
∞
Символически свертка обозначается как f(t) h(t).
Если применить к выражению (1.27) преобразование Фурье
∞ ∞
S(f) = ∫ ∫ f() h(t – )d exp(–j2π ft) dt =
∞ ∞
∞ ∞
= ∫ f() exp(–j2π f) d ∫ h(t – ) exp(–j2π f(t –))d(t –) = F(f)H(f), (1.28)
∞ ∞
то увидим, что спектр свертки сигналов получается как произведение спектров исходных сигналов.
Таким образом, теорема о свертке может быть сформулирована примерно следующим образом: свертке двух функций во временной области соответствует произведение спектров этих функций, и, наоборот, свертке двух спектров соответствует произведение соответствующих им временных функций.
В символах преобразования Фурье эта теорема может быть записана таким образом:
F [s1(t) s2(t)] = F [s1 (t)] F [s2 (t)] = S1(f) S2(f);
F -1[S1 (f) S2 (f)] = s1(t)s2(t). (1.29)