Практичне заняття 3 Незалежні повторні випробування План

1. Повторення формул Бернуллі, Лапласа, Пуассона та випадків їх використання.

2. Розв’язання задач на знаходження ймовірності подій у схемі незалежних повторних випробувань за Формулою Бернуллі.

3. Розв’язання задач на використання потрібної формули в залежності від кількості випробувань.

4. Розв’язання задач на знаходження найімовірнішої частоти та її ймовірності.

Формула Бернуллі: ,

де n – кількість випробувань Бернуллі, k – число „успіхів”.

Формула локальної теореми Муавра-Лапласа:

( φ (х) – функція Гаусса; парна; при х > 4 φ(х) = 0; n > 50)

Формула Пуассона:

( p < 0,1; n > 50 та npq < 9)

Найімовірніша частота:

Якщо np + p – ціле, то найімовірніша частота має два значення: k₁= np – q та k₂= np + p.

Якщо np + p – дробове, то найімовірніша частота має одне значення: k₀ = [np + p].

Формула інтегральної теореми Муавра-Лапласа:

( Φ (х) – функція Лапласа; непарна; при х > 5 Φ(х) = 0,5; n > 50)

Формула для обчислення ймовірності того, що абсолютна величина відхилення випадкової величини від її математичного сподівання не перевищить деякого числа:

.

Формула для обчислення ймовірності того, що абсолютна величина відхилення долі від ймовірності не перевищить деякого числа:

Задача 1. Ймовірність виготовлення на автоматичному верстаті стандартної деталі дорівнює 0,89. Визначити ймовірність того, що з 5 навмання вибраних деталей 3 виявляться стандартними.

Розв’язання.

n = ____________, k = ____________, р = ______________, q = ____________

= __________________________________________________

_______________________________________________________________________

Відповідь: _____________________________________________________________.

Задача 2. Ймовірність влучення в ціль при одному пострілі дорівнює 0,7. Скласти таблицю розподілу кількості влучень у ціль при 5 пострілах. Побудувати полігон розподілу ймовірностей для отриманого розподілу.

Розв’язання.

n = ____________, р = ______________, q = ____________

k – кількість влучень у ціль

k
Р

Задача 3. За статистичними даними в середньому 95% кількості виробів, що виготовляє цех, не мають дефектів. Яка найімовірніша кількість виробів з дефектом виявиться серед 25 випадковим чином відібраних зразків?

Розв’язання.

n = ____________, k = ____________, р = ______________, q = ____________

____________________ ____________________

Відповідь: _____________________________________________________________.

Задача 4. Банк відправив у свою філію 700 пластикових карток. Імовірність пошкодження чіпа пластикової картки в дорозі дорівнює 0,015. Знайти імовірність того, що при транспортуванні буде ушкоджено 5 пластикових карток.

Розв’язання.

n = ____________, k = ____________, р = ______________

Перевірити виконання умов використання формули Пуассона.

_______________________________________________________________________

= __________________________________________________

_______________________________________________________________________

Відповідь: _____________________________________________________________.

Задача 5. Ймовірність появи подій А для кожного окремого випробування дорівнює 0,35. Знайти найімовірніше число появ події А при 70 незалежних повторних випробуваннях та його ймовірність.

Розв’язання.

n = ____________, k = ____________, р = ______________, q = ____________

____________________ ____________________

____________________________________________________

_______________________________________________________________________

Відповідь: _____________________________________________________________.

Задача 6. У великій партії виробів містяться 62% виробів першого ґатунку. Знайти ймовірність того, що серед 32 випадковим чином відібраних виробів буде 19 першого ґатунку.

Розв’язання.

n = ____________, k = ____________, р = ______________, q = ____________

_____________________________________________________________

_______________________________________________________________________

Відповідь: _____________________________________________________________.

Задача 7. Школа приймає до перших класів 120 дітей. Визначити ймовірність того, що серед них виявиться 56 хлопчиків, якщо ймовірність народження хлопчика дорівнює 0,517.

Розв’язання.

n = ____________, k = ____________, р = ______________, q = ____________

Перевірити виконання умов використання формули локальної теореми Муавра-Лапласа.

_______________________________________________________________________

= _______________________________________________

_______________________________________________________________________

Відповідь: _____________________________________________________________.

Задача 8. Схожість зерна, що зберігається на складі, дорівнює 85%. Вибрали навмання 100 зерен. Потрібно визначити ймовірність того, що серед них:

а) кількість якісних зерен виявиться від 72 до 93 штук включно;

б) кількість якісних зерен буде відрізнятись від найбільш ймовірної кількості їх за абсолютною величиною не більш, ніж на 15 штук;

в) доля (k/n) якісних зерен буде відрізнятись від 0,85 (85%) за абсолютною величиною не більш, ніж на 0,13.

Розв’язання.

n = ____________, р = ______________, q = ____________

а) k₁ = ____________, k₂ = ____________

= ______________

_______________________________________________________________________

б)

= ________________________

_______________________________________________________________________

в)

= ___________________________

_______________________________________________________________________

Задача 9. Ймовірність появи події в кожному з незалежних випробувань дорівнює 0,6. Знайти кількість випробувань n, за якої з ймовірністю 0,7698 можна чекати, що відносна частота (доля) появи події буде знаходитись у межах від 0,58 до 0,62.

Розв’язання.

р = ______________, q = ____________, Р = ___________, n – ?

Знайдемо . _____________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Відповідь: _____________________________________________________________.

Задача 10. Ймовірність дефекту при виробленні механізмів дорівнює 0,4. Навмання вибирають 500 механізмів. Встановити величину найбільшого відхилення долі виготовлених механізмів з дефектом від ймовірності 0,4, яку можна гарантувати з ймовірністю 0,9973.

Розв’язання.

n = ____________, р = ______________, q = ____________,  – ?

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Відповідь: _____________________________________________________________.

Змістовий модуль 2. Випадкові величини

Практичне заняття 4

Дискретні та неперервні випадкові величини

План.

1. Повторення методів знаходження математичного сподівання та дисперсії дискретної ВВ, формули для обчислення середнього квадратичного відхилення (студенти біля дошки).

2. Розв’язання задач на знаходження математичного сподівання дискретної ВВ.

3. Розв’язання задач на обчислення дисперсії та середнього квадратичного відхилення дискретної ВВ.

4. Побудова інтегральної функції розподілу за законом розподілу ДВВ.

5. Розв’язання задач на використання властивостей математичного сподівання та дисперсії.

6. Повторення теоретичного матеріалу.

7. Розв’язання задач на знаходження диференціальної функції розподілу за інтегральною та навпаки.

8. Розв’язання задач на обчислення числових характеристик НВВ.