3.1.5 Явления переноса в жидкостях*
В жидкостях, как и в газах, наблюдаются явления диффузии, теплопроводности и вязкости. Однако механизмы явлений переноса в жидкостях иные, Коэффициенты переноса в газах определяются длиной свободного пробега молекул, в жидкостях же расстояние между молекулами порядка размеров самих молекул, поэтому молекулы жидкости могут лишь колебаться в пределах, ограниченных межмолекулярными расстояниями.
Тепловое движение молекул жидкости - это-колебание их, сменяющееся скачками, вызванными флуктуациями энергии. При скачках и происходит перенос массы, импульса, энергии.
Промежуток времени между двумя скачками τ называют временем "жизни" или временем релаксации. Осуществление скачка из одного равновесного состояния в другое, связано с преодолением некоторого потенциального барьера W. Поэтому время "оседлой" жизни молекулы - это время ожидания флуктуации энергии, достаточной для преодоления барьера W:
.
(3.1.27)
Так
как
,
а
,
то
коэффициент диффузии
в жидкости равен:
,
Явления диффузии, вязкости и, теплопроводности в жидкостях описываются теми же законами, что и в газах. Отличие механизма переноса сказывается на значениях коэффициентов переноса и на характере их температурной зависимости.
3.1.6 Статистические распределения. Функция распределения вероятности
Пусть имеется совокупность очень большего числа N одинаковых молекул, находящихся в равновесном состоянии.
Некоторая физическая
величина, характеризующая молекулу –
х
(например Еколеб,
Евращ).
Эта величина может принимать различные
значения
.
Значения дискретные.
Предположим, что мы смогли измерить
одновременно у всех N
молекул значения величины х.
молекул имеет
значение
.
молекул имеет
значение
….
молекул имеет
значение
.
– вероятность
того, что величина
(х
имеет значение
).
.
(3.1.28)
Сумма вероятностей всех возможных значений которые принимает величина х равна 1 (вероятность того что величина х примет какое либо из возможных значений).
Пусть молекулы характеризуются не одной физической величиной, а двумя (х, у – если значение одной величины не зависит от того какое значение имеет другая, то величины называются статистически независимыми).
,
,
(3.1.29)
где
– количество молекул имеющих значение
величины
;
– количество молекул имеющих значение
величины
.
Если есть
с
то вероятность того, что среди этих
молекул будут и молекулы имеющие значение
величины
:
.
(3.1.30)
.
(3.1.31)
.
(3.1.32)
.
(3.1.33)
.
(3.1.34)
Теорема об умножении вероятностей
Вероятность одновременного появления статистически независимых событий равна произведению вероятностей этих событий (событием является то, что величина х имеет данное значение).
Итак, если молекул имеют значение , то сумма значений равна:
.
(3.1.35)
А сумма всех значений:
.
(3.1.36)
Разделив на количество молекул получим среднее значение величины х:
.
(3.1.37)
Зная вероятности значений (разных) данной физической величины можно найти ее среднее значение.
Теперь рассмотрим случай, когда характеризующая молекулу величина х может принимать непрерывный ряд значений от х = а до х = b, х = , х = + …
Количество значений
х
бесконечно, количество молекул велико,
но
конечно. Говорить о том, что
молекул имеет значение х
конкретное, (например скорость) точно
заданное, не имеет смысла. В этом случае
можно лишь говорить о том, какова
вероятность
того,
что величина х
принимает значение из интервала dx,
причем х
принадлежит этому интервалу. Или интервал
расположен в окрестности значения х.
Во-первых, эта вероятность пропорциональна
dx.
Во-вторых зависит от того, какое значение
принимает х,
т.е. является функцией х
(
).
.
(3.1.38)
– называется
функция распределения вероятности или
плотность вероятности.
Если умножить (3.1.38) на полное число молекул, то получим количество молекул у которых значение величины х лежит в интервале dх.
.
(3.1.39)
,
(3.1.40)
– интеграл, взятый
по всему интервалу х,
т.е. сумма всех молекул равная N.
,
(3.1.41)
– сумма вероятностей
всех возможных значений.
.
(3.1.42)
Площадь, ограниченная графиком функции распределения вероятности, равна 1.
Выражение:
– дает сумму значений, х
которыми обладают
молекул.
А сумма значений, х которыми обладают N молекул:
.
(3.1.43)
Разделив сумму всех значений на количество молекул получим значение:
.
(3.1.44)
Если вместо х взять какую либо функцию от х, например, (х), то
;
(3.1.45)
;
(3.1.46)
,
(3.1.47)
– среднее значение квадрата физической величины.