3.1.3 Внутренняя энергия идеального газа. Степени свободы молекул

Внутренняя энергия включает в себя энергию всех видов внутреннего движения и энергию взаимодействия всех частиц. Внутренняя энергия многоатомного газа состоит из:

1. Кинетической энергии теплового поступательного и вращательного движения молекул.

2. Кинетической и потенциальной энергии колебаний атомов в молекуле.

3. Потенциальной энергии, обусловленной межмолекулярными взаимодействиями.

4. Энергии электронных оболочек атомов и ионов.

5. Кинетической и потенциальной энергии взаимодействия нуклонов в ядрах атомов.

В модели идеального газа учитывается только энергия поступательного движения молекул. Такой подход хорошо описывает одноатомный газ.

В соответствии с классической механикой Число степеней свободы – наименьшее число линейно независимых координат, которые полностью определяют положение тела в пространстве. Число степеней свободы материальной точки в трёхмерном пространстве i=3 (рис.55).

Число степеней свободы одноатомной молекул равно количеству координат, необходимому для задания их положения в пространстве. В нашем трехмерном пространстве число координат и число степеней свободы одноатомного газа равно трем.

В соответствии с (3.1.10) средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул, определяемая через средний квадрат скорости , пропорциональна температуре газа

+ + = . (3.1.10)

Из изотропии пространства (равноправности всех направлений) средние квадраты компонент скорости равны = = . Это позволяет сопоставить каждой из координат и каждой степени свободы треть средней кинетической энергии поступательного движения молекул. Таким образом, можно считать, что на каждую степень свободы приходится в среднем энергия .

Если молекула газа не одноатомная, а состоит из N атомов, то для задания их положения в пространстве необходимо 3N координат.

Таким образом, молекула из N атомов имеет 3N степеней свободы. Поскольку многоатомная молекула является единым целым, то удобно рассматривать движение ее центра масс с тремя поступательными степенями свободы. При этом оставшиеся степени свободы приходятся на вращательное и колебательное движения молекулы.

Теоретическая механика утверждает, что нелинейная молекула, состоящая из трех и более атомов, способна участвовать в трех независимых вращательных движениях относительно трех осей координат. Любое другое вращение можно представить как их комбинацию. Поэтому число вращательных степеней свободы нелинейной молекулы равно трем.

Для линейной молекулы из двух и более атомов (выстроенных вдоль одной линии) учет вращения вокруг оси, соединяющей атомы, считающиеся материальными точками, не дает вклада в энергию. Поэтому число вращательных степеней свободы линейной молекулы равно двум. Оставшиеся степени свободы приходятся на колебательное движение. При этом число колебательных степеней свободы для нелинейной молекулы равно 3N-6, а для линейной молекулы – 3N-5.

Закон о равномерном распределении энергии по степеням свободы

Для статистической системы находящейся в тепловом равновесии на каждую поступательную и вращательную степени свободы приходится в среднем кинетическая энергия, равная , а на каждую колебательную степень свободы – в среднем энергия, равная kT.

В случае многоатомного газа (как и для одноатомного) при нормальной и низкой температурах колебательное движение молекул обычно описывается законами квантовой механики.

Эти законы обосновывают жесткость молекул и отсутствие колебательной энергии – в этом случае считают, что колебательные степени свободы отсутствуют.

При высоких же температурах на колебательную степень свободы помимо кинетической энергии приходится такая же потенциальная энергия, так что в сумме получается kТ.

Таким образом, молекула обладает средней энергией

, (3.1.11)