2.8.3 Кинематика теории относительности (следствия из преобразований Лоренца)

1. Нарушение одновременности удаленных событий. Пусть в системе (условно неподвижной) в точках с координатами x₁ и x₂ происходят одновременно два события в момент времени t₁ = t₂ = t₀. Тогда для наблюдателя, находящегося в системе , движущейся со скоростью относительно системы , время будет разным:

; . (2.8.19)

Из этих формул видно, что .

Однако если x₁ = x₂, то и , т.е. события, происходящие одновременно в одном и том же месте в системе , будут совпадать в пространстве и времени и в системе . Следовательно, для удаленных точек одновременность нарушается.

2. Длительность событий в разных системах. Предположим, что в системе K в точке, координата которой x не изменяется, происходит некоторое событие, длительность которого

, (2.8.20)

где t₁ и t₂ – моменты начала и окончания события соответственно.

длительность этого события для наблюдателя, находящегося в системе ,

; (2.8.21)

. (2.8.22)

Отсюда видно, что длительность события, происходящего в некоторой точке пространства, минимальна в той инерциальной системе отсчета, относительно которой эта точка неподвижна.

Время , отсчитанное по часам, находящимся в той системе, относительно которой точка неподвижна (такое время называют собственным временем события). Как видно из полученной формулы , собственное время события всегда меньше, чем время, отсчитанное по часам в движущейся системе отсчета.

Этот релятивистский эффект замедления времени получил непосредственное подтверждение в опытах с -мезонами, элементарными частицами, входящими в состав космических лучей. Среднее время жизни неподвижного -мезона равно . Мезоны возникают в атмосфере на высоте 20-30 км и в значительном количестве достигают поверхности Земли. Но исходя из представлений классической механики и времени жизни мезон, даже двигаясь со скоростью света, мог бы пролететь всего  м. Чем же объяснить, что они достигают поверхности Земли? время жизни неподвижного мезона . Если он двигается, то в системе отсчета, движущейся вместе с ним, он будет оставаться неподвижным и время его жизни будет тем же самым, т.е. – это собственное время жизни мезона. Время же по часам экспериментатора, связанного с Землей, оказывается гораздо больше: . Так как скорость мезонов близка к скорости света, то и за это время они успевают достигнуть поверхности Земли.

Вследствие релятивистского эффекта замедления времени и на космическом корабле течение времени должно замедляться. Поэтому длительность космического полета по часам космонавтов будет меньше длительности этого полета, измеренного по часам на Земле. Но этот эффект может оказаться значительным и наблюдаемым только если удастся осуществить полеты космических кораблей со скоростями, близкими к скорости света.

3. Длина тел в разных системах. Предположим, что некоторый стержень, находящийся в условно неподвижной системе K, расположен вдоль оси x и имеет в этой системе длину

. (2.8.23)

длина этого стержня в системе , движущейся относительно стержня со скоростью в направлении оси x

. (2.8.24)

Координаты надо измерять в один и тот же момент времени , определяемый в системе . Для этого выразим x через по преобразованиям Лоренца

; . (2.8.25)

Вычитая левые и правые части равенств, получим

, (2.8.26)

но и , поэтому

. (2.8.27)

Стержень в координатной системе, движущейся относительно его, короче, чем в системе, где стержень покоится ( ).

4. В классической механике закон сложения скоростей, получающийся из преобразований Галилея, записывается так:

, (2.8.28)

где u – скорость некоторого тела относительно условно неподвижной системы отсчета ; – относительная скорость (скорость в условно движущейся системе отсчета ); – переносная скорость движения системы относительно системы .

Из преобразований Лоренца следует иная связь между перечисленными скоростями:

. (2.8.29)

При  << c эта формула переходит в формулу классического закона сложения скоростей.