4.2. Теория игр

Применение теории игр в практике управления. Теория игр все шире проникает в практику экономических решений и исследований. Ее можно рассматривать как инструмент, помогающий повысить эффек­тивность плановых и управленческих решений.

Обычно теорию игр определяют как раздел математики для изуче­ния конфликтных ситуаций. Это значит, что можно выработать опти­мальные правила поведения каждой стороны, участвующей в решении конфликтной ситуации [16].

В экономике аппарат математического анализа, занимающийся^п-ределением экстремумов функций, оказался недостаточным. Появи­лась необходимость изучения так называемых оптимальных минимакс­ных и максиминных решений.

Таким образом, теорию игр можно рассматривать как новый раздел оптимизационного подхода, позволяющего решать новые задачи при принятии решений.

Основные понятия теории игр. В теории используются следующие понятия:

• игра — упрощенная формализованная модель реальной конф­ликтной ситуации. Математически формализация означает, что выработаны определенные правила действия сторон в процессе игры: варианты действия сторон; исход игры приданном вариан­те действия; объем информации каждой стороны о поведении всех других сторон. Одну играющую сторону при исследовании операций может представлять коллектив, преследующий неко­торую общую цель. Однако разные члены коллектива могут быть по-разному информированы об обстановке проведения игры. Выигрыш или проигрыш сторон оценивается численно, другие случаи в теории игр не рассматриваются, хотя не всякий выиг­рыш в действительности можно оценивать количественно;

• игрок — одна из сторон в игровой ситуации;

• стратегия игрока — правила действия игрока в каждой из воз­можных ситуаций игры. Существуют игровые системы управле­ния — системы, процесс управления в которых рассматривается как игра;

• платежная матрица — матрица эффективности, матрица иг­ры. Она включает все значения выигрышей (в конечной игре). Пусть игрок 1 имеет m стратегий А_i а игрок 2 — n стратегий B_j (i = ; j = ). Игра может быть названа игрой m х n. Пред­ставим матрицу эффективности игрЫдвух лиц с нулевой суммой, сопроводив ее необходимыми обозначениями (табл. 4.1) [16].

Таблица 4.1

Платежная матрица

	Игрок 2
Игрок 2		B1	B2	…	Bn	αi
	A1	a11	a12	…	a1n	a1
	A2	a12	a21	…	a2n	a12
	…	…	…	…	…	…
	Am	am1	am2	…	a11	a11
	βj	β1	β2	…	βj

В данной матрице элементы а_ij - (значения выигрышей игрока) могут означать и математическое ожидание выигрыша (среднее значение), если выигрыш —• случайная величина. Величины α_i = и β_j, j = — соответственно минимальные значения элементов a_tj по строкам и мак­симальные — по столбцам. Их содержательный смысл будет отражен ниже.

В теории игр не существует установившейся классификации видов игр. Однако по определенным признакам некоторые виды можно выде­лить [16, 52].

Классификация игр. Количество игроков. Если в игре участвуют две стороны, то ее называют игрой двух лиц. Если число сторон больше двух, ее относят к игре п игроков. Наибольший интерес вызывают игры двух лиц. Они и математически более глубоко проработаны, и в практических приложениях имеют наиболее обширную библиогра­фию.

Количество стратегий игры. По этому критерию игры делятся на конечные и бесконечные. В конечной игре каждый из игроков имеет конечное число возможных стратегий. Если хотя бы один из игроков имеет бесконечное число возможных стратегий, игра называется беско­нечной.

Взаимоотношения сторон. Согласно данному критерию игры делят­ся на следующие категории:

• бескоалиционные — игроки не имеют право вступать в соглаше­ния, образовывать коалиции;

• колиационные — игроки могут вступать в соглашения, создавать коалиции;

• кооперативные — игры, в которых заранее определены коалиции. Характер выигрышей. Этот критерий позволяет выделить:

• игры с нулевой суммой — предусматривают условие: сумма выиг­рышей всех игроков в каждой партии равна нулю. Игры двух иг­роков с нулевой суммой относят к классу антагонистических. Ес­тественно, выигрыш одного игрока при этом равен проигрышу другого. Примерами игр с нулевой суммой служат многие эко­номические задачи. В них общий капитал всех игроков перерас­пределяется между игроками, но не меняется; игры с ненулевой суммой, к которым можно отнести большое количество эконо­мических задач. Например, в результате торговых взаимоотно­шений стран, участвующих в игре, все участники могут оказаться в выигрыше. Игры, за право участия в которых нужно вносить взнос, также игры с ненулевой суммой.

Вид функции выигрышей. По этому критерию игры выделяют:

• матричные — конечные игры двух игроков с нулевой суммой. В об­щем случае платежная матрица таких игр прямоугольная. Номер строки матрицы соответствует номеру стратегии, применяемой игроком 1. Номер столбца соответствует номеру стратегии игро­ка 2. Выигрыш игрока 1 — элемент матрицы. Выигрыш игрока 2 равен проигрышу игрока 1. Матричные игры всегда имеют реше­ния в смешанных стратегиях. Они могут быть решены методами линейного программирования;

• биматричные — конечные игры двух игроков с ненулевой сум­мой. Выигрыши каждого игрока задаются своей матрицей, в ко­торой строка соответствует стратегии игрока 1, а столбец — стра­тегии игрока 2. Однако

элемент первой матрицы показывает выигрыш игрока 1, а элемент второй матрицы — выигрыш игрока 2. Для биматричных игр, также как и для матричных, разработа­на теория оптимального поведения игроков;

• непрерывные — игры, в которых функция выигрышей каждого игрока в зависимости от стратегий непрерывна;

• выпуклые — игры, в которых функция выигрышей каждого игро­ка выпуклая;

• сепарабельные — игры, в которых функция выигрышей может быть разделена на сумму произведений функций одного аргумента.

Количество ходов. Согласно этому критерию игры можно выделить:

• одношаговые — игры, заканчивающиеся после одного хода каж­дого игрока. Так, в матричной игре после одного хода каждого из игроков происходит распределение выигрышей;

• многошаговые игры — бывают позиционными, стохастически­ми, дифференциальными и др.

Информированность сторон. Поданному критерию различают:

• игры с полной информацией — каждый игрок на каждом ходу игры знает все стратегии, ранее примененные другими игроками на предыдущих ходах. Игра с полной информацией всегда имеет решение. Решением будет седловая точка при чистых стратегиях;

• игры с неполной информацией — игроку известны не все страте­гии предыдущих ходов других игроков.

Степень неполноты информации. По этому критерию игры подразде­ляются на статистические (в условиях частичной неопределенности) и стратегические (в условиях полной неопределенности, см. ниже). Игры с природой часто относят к статистическим играм. В статистической игре имеется возможность получения информации на основе статистическо­го эксперимента, при котором вычисляется или оценивается распреде­ление вероятностей состояний (стратегий) природы. С теорией статис­тических игр тесно связана теория принятия экономических решений.

Оценки игры. Рассмотрим матричную игру, представленную матри-цей выигрышей т х n, где число строк i = , а число столбцов j = (см. табл. 4.1). Применим принцип получения максимального гаран­тированного результата при наихудших условиях. Игрок 1 стремится принять такую стратегию, которая должна обеспечить максимальный проигрыш игрока 2. Соответственно игрок 2 стремится принять страте­гию, обеспечивающую минимальный выигрыш игрока 1. Рассмотрим оба этих подхода.

Подход игрока 1. Он должен получить максимальный гарантирован­ный результат при наихудших условиях. Значит, при выборе своей чис­той стратегии, отвечающей этим условиям, он должен выбрать гаранти­рованный результат в наихудших условиях, т.е. наименьшее значение своего выигрыша a_ij, которое обозначим

Чтобы этот гарантированный результат в наихудших условиях был максимальным, нужно из всех α_i, выбрать наибольшее значение. Обо­значим его α и назовем чистой нижней ценой игры (максимин):

Таким образом, максиминной стратегии отвечает строка матицы, которой соответствует элемент α. Какие бы стратегии ни применял иг­рок 2, игрок 1 максиминной чистой стратегией гарантировал себе выиг­рыш, не меньший чем α. Таково оптимальное поведение игрока 1.

Подход игрока 2. Своими оптимальными стратегиями он стремится уменьшить выигрыш игрока 1, поэтому при каждой j-й чистой страте­гии он отыскивает величину своего максимального проигрыша:

в каждом j-м столбце, т.е. определяет максимальный выигрыш игрока 1, если игрок 2 применит j-ю чистую стратегию. Из всех своих n j-x чистых стратегий он отыскивает такую, при которой игрок 1 получит мини­мальный выигрыш, т.е. определяет чистую верхнюю цену игры (мини-макс):

Чистая верхняя цена игры показывает, какой максимальный выиг­рыш может гарантировать игрок 1, применяя свои чистые стратегии, — выигрыш, не меньший, чем α. Игрок 2 за счет указанного выше выбора своих чистых стратегий не допустит, чтобы игрок 1 мог получить выиг­рыш, больший, чем .

Таким образом, минимаксная стратегия отображается столбцом пла­тежной матрицы, в котором находится элемент (см. табл. 4.1). Это оптимальная чистая гарантирующая стратегия игрока 2, если он ничего не знает о действиях игрока 1.

Чистая цена игры v — цена данной игры, если нижняя и верхняя ее цены совпадают:

В этом случае игра называется игрой с седловой точкой