2.3. Пример решения задачи 2

Рассчитать LC-фильтр, со следующими параметрами:

Тип фильтра: фильтр верхних частот (ФВЧ).

Вид аппроксимации характеристики ослабления: по Чебышеву.

Режим работы фильтра: двухсторонняя нагрузка.

Гарантированное ослабление в полосе задерживания а₀ = 45 дБ.

Граничная частота полосы пропускания f₀ = 5,46 кГц;

Граничная частота полосы задерживания f_k = 3,51 кГц;

Допустимая неравномерность характеристики ослабления фильтра в полосе пропускания ∆а = 1,25 дБ;

Величина нагрузочного сопротивления R1 = 600 Ом.

Проектирование схемы фильтра

Схема, параметры элементов и характеристики проектируемого фильтра находятся с помощью частотного преобразования фильтра-прототипа нижних частот (ФПНЧ).

Для фильтров с характеристикой Чебышева порядок ФПНЧ находится по формуле:

,

в которой нормированная граничная частота полосы задерживания ФПНЧ рассчитывается по формуле: .

Согласно расчетам: =1.56; n = 6.354. Округляя n до ближайшего большего целого числа, получаем n = 7.

Схема фильтра-прототипа нижних частот 7-го порядка для режима двусторонней нагрузки выглядит следующим образом:

Элементы двухсторонне нагруженного ФПНЧ с характеристикой Чебышева при

a = 1,25 дБ и n = 7:

α₁ = 2,351 α₂ = 1,053 α₃ = 3,297 α₄ = 1,108 α₅ = 3,297 α₆ = 1,053 α₇ = 2,351 r₂ = 1.

Параметры элементов проектируемого фильтра определяются путем соответствующего пересчета параметров элементов ФПНЧ по формулам:

Элементы фильтров		Формулы пересчета
ФПНЧ	ФВЧ
αν
αμ

R0 = R1 = 600 Ом

R2 = r2·R0 = 1·600 = 600 Ом

L1 = 7,439·10^–3 Гн C2 = 4,614·10^–8 Ф

L3 = 5,305·10^–3 Гн C4 = 4,385·10^–8 Ф

L5 = 5,305·10^–3 Гн C6 = 4,614·10^–8 Ф

L7 = 7,439·10^–3 Гн

Схема ФВЧ:

Определение передаточной функции фильтра

Передаточная функция полиномиального ФПНЧ:

,

где – полином Гурвица 7-й степени, В – коэффициент, определяющий величину ослабления фильтра на частоте = 0.

Для ФПНЧ с характеристикой Чебышева при а = 1,25 дБ: В₇ = 0,02706.

Сомножители полиномов для ФПНЧ с характеристикой Чебышева при а = 1,25 дБ и n = 7:

=

Передаточная функция проектируемого фильтра находится частотным преобразованием передаточной функции фильтра-прототипа нижних частот.

Передаточная функция ФПНЧ	Формула преобразования	Передаточная функция фильтра H(p)	Тип фильтра
			ФВЧ

Передаточная функция проектируемого фильтра:

Расчет характеристики ослабления проектируемого фильтра

Характеристику ослабления проектируемого фильтра получим частотным преобразованием характеристики ослабления ФПНЧ, которая при аппроксимации по Чебышеву имеет вид:

,

где n – порядок ФПНЧ; – нормированная частота ФПНЧ,

P_n( ) =

Для расчета характеристики ослабления проектируемого фильтра a(f) используем прямое преобразование частоты:

.

Значения граничных частот:

f_min = 0,8 f_k = 2,808 10³ Гц;

f_max = n f₀ = 3,822 10⁴ Гц.

Характеристика ослабления a(f), полученная прямым преобразованием частоты , имеет вид:

Построим используя Mathcad.

Получаем следующий график в Mathcad.