Вариант 4

(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 4)

Контрольная работа № 1

1. Решить матричное уравнение

где

и

2. По формулам Крамера решить систему:

3. Решить систему линейных уравнений:

Найти какое-нибудь базисное решение.

4. Даны четыре вектора

=(2;3;7); =(3;–2;4); =(–1;1;–1); =(1;1;3)

в некотором базисе. Показать, что векторы , , образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.

5. а) Методом Лагранжа привести квадратичную форму

f(x_1, x₂)=3x₁²–x₂²+4x₁x₂

к каноническому виду (указать пример соответствующего преобразования координат).

б) По критерию Сильвестра исследовать на знакоопределенность квадратичную форму

f(x_1, x₂, x₃)=2x₁²+x₂²+4x₃² +2x₁x₂–4x₁x₃ –2x₂x₃.

6. Составить уравнение прямых, на которых лежат диагонали параллелограмма, если две его стороны лежат на прямых и , а одна из вершин параллелограмма имеет координаты . Сделать чертеж.

7. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку и линию пересечения плоскостей и .

Контрольная работа № 2

_{1. Найти предел:}

2. Написать уравнение касательной к параболе , пересекающей

ось абсцисс в точке и не имеющей общих точек с третьей координатной четвертью. Сделать чертеж.

3. Исследовать функцию и схематично построить ее график.

4. Вычислить определенный интеграл:

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , . Сделать чертеж.

6. Экспериментальные данные о переменных х и у приведены в таблице:

	4	5	6	7	8
	–5,5	–5	–1	7	13

В результате их выравнивания получена функция . Используя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью (найти параметры а и b). Выяснить, какая из двух линий лучше (в смысле метода наименьших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.

7. Решить дифференциальное уравнение:

.

_{8. Исследовать сходимость ряда:}

.

Вариант 5

(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 5)

Контрольная работа № 1

1. Дана матрица

Найти ранг матрицы

2. По формулам Крамера решить систему:

3. Определить, имеет ли однородная система

ненулевое решение. Найти общее решение системы.

4. Даны четыре вектора

=(3;4; – 3); =(2;1; – 4); =(– 5;5;0); =(8; – 16;17)

в некотором базисе. Показать, что векторы , , образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.

5. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицей А= .

6. Составить уравнения прямых, на которых лежат катеты прямоугольного равнобедренного треугольника, если вершина прямого угла находится в точке , а гипотенуза лежит на оси абсцисс. Сделать чертеж.

7. Найти расстояние от точки пересечения прямых и до плоскости .