4.4 Закон сохранения энергии в механике
Количественную формулировку закона сохранения и превращения энергии дали немецкие ученые Ю. Майер и Г. Гельмгольц (XIX в.): в замкнутой системе энергия может переходить из одних видов в другие и передаваться от одного тела к другому, но ее общее количество остается неизменным.
Закон сохранения и превращения энергии является одним из фундаментальных законов природы, справедливым как для систем макроскопических тел, так и для систем элементарных частиц.
В замкнутой системе тел, силы взаимодействия между которыми консервативны (потенциальны), отсутствуют взаимные превращения механической энергии в другие виды энергии. Такие системы называются замкнутыми консервативными и для них справедлив закон сохранения энергии в механике: механическая энергия замкнутой консервативной системы не изменяется в процессе ее движения:
(4.16)
Для вывода этого
закона рассмотрим систему материальных
точек максами m1,
m2,
… , mn,
движущихся со скоростями
.
Пусть
-
равнодействующие внутренних консервативных
сил, действующие на каждую из этих точек,
а
-
равнодействующие внешних сил, которые
также будем считать консервативными.
Кроме того, будем считать, что на
материальные точки действует еще и
внешние неконсервативные силы;
равнодействующие этих сил, действующих
на каждую из материальных точек, обозначим
При
массы материальных точек постоянны и
уравнения движения этих точек по второму
закону Ньютона имеют следующий вид:
(4.17)
Двигаясь под
действием сил, точки системы за интервал
времени dt
совершают перемещения
.
Умножим каждое уравнение системы (4.17)
на соответствующее перемещение:
Учитывая, что
,
получим:
Складывая эти уравнения, получим:
(4.18)
Первый член левой части (3.13) представляет собой приращение кинетической энергии системы:
Второй член
равен элементарной работе внутренних
и внешних консервативных сил, т.е. равен
элементарному приращению потенциальной
энергии dEп.
Правая часть уравнения (6.18) задает работу внешних неконсервативных сил, действующих на систему. Таким образом, имеем:
(4.19)
При переходе системы из состояния 1 в какое-либо состояние 2
т.е изменение полной механической энергии системы при переходе из одного состояния в другое равно работе, совершенной при этом внешними неконсервативными силами. Если внешние неконсервативные силы отсутствуют, то из (4.19) следует, что
откуда
,
(4.20)
что и требовалось доказать.
Из равенства (4.20) следует, что сумма кинетической и потенциальной энергии тел, составляющих замкнутую систему, в которой действуют консервативные силы, остается постоянной. Это утверждение называется законом сохранения энергии в механических процессах.
Для любой замкнутой системы всегда выполняется закон сохранения и превращения энергии: полная энергия замкнутой системы остается постоянной. При этом, будучи несозидаемой и неуничтожаемой, энергия может превращаться из одного вида в другой.
Не сохраняется полная механическая энергия и в том случае, если в системе тел происходят неупругие деформации. Но убывание механической энергии не означает, что энергия исчезает бесследно. Она превращается из механической в другую, в частности во внутреннюю энергию.
Внутренняя энергия тела – энергия, связанная с движением молекул, из которых состоит тело, и их взаимодействием между собой. Пока (при изучении механики) это качественное определение, которое будет конкретизировано при изучении термодинамики.
Лекция 5 Динамика вращательного движения
5.1 Момент силы и момент инерции
5.2 Теорема Штейнера
5.3 Уравнение динамики вращательного движения твердого тела
5.4 Момент импульса и закон его сохранения