3.1 Законы сохранения и свойства пространства и времени

Между уравнениями динамики и законами сохранения имеется существенная разница. Законы динамики дают нам представление о детальном ходе процесса. Законы сохранения обусловлены фундаментальными свойствами пространства и времени и поэтому они универсальны и всеобщи. Но они не дают указаний на то, как должен идти тот или иной процесс. Они говорят лишь о том, какие процессы запрещены в природе. Законы сохранения выступают как запреты!

Все ниже рассматриваемые законы (законы сохранения импульса и энергии) есть следствие законов движения (например, 2-го закона Ньютона). Поэтому необходимо понимать следующее: законы сохранения можно получить из 2-го закона Ньютона, если к нему присоединить свойства симметрии пространства и времени.

Что такое однородность времени, пространства и изотропия пространства? Необходимо дать точные характеристики и определения.

Однородность времени означает, что если в два любые момента времени все тела замкнутой системы поставить в совершенно одинаковые условия, то, начиная с этих моментов, все явления в ней будут протекать совершенно одинаково.

Однородность пространства означает, что если замкнутую систему тел перенести из одного места пространства в другое, поставив при этом все тела в ней в те же условия, в каких они находились в прежнем положении, то это не отразится на ходе всех последующих явлений.

Изотропия пространства означает однородность пространства по отношению к повороту системы на заданный угол.

Эти свойства пространства и времени - фундаментальное обобщение опытных фактов.

3.2 Импульс тела, закон со­хранения импульса

Импульс тела – векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его мгновенную скорость:

. (3.1)

Если размерами тела нельзя пренебречь, то это определение имеет смысл только для поступательного движения.

Так как масса любого тела положительна, то импульс направлен в ту же сторону, что и его скорость. Единица импульса в системе СИ — 1 кгм/с.

Пусть скорость тела под действием постоянной силы изменяется за время от до . По второму закону Ньютона

. (3.2)

Ускорение в свою очередь равно:

. (3.3)

Подставив (3.3) в (3.2), получим:

(3.4)

Произведение силы на время ее действия называется импульсом силы. Единицей импульса силы — .

Формула (3.4) выражает второй закон Ньютона, который может быть сформулирован следующим образом: изменение импульса тела равно им­пульсу равнодействующей сил, действующих на данное тело.

Прежде чем перейти к выводу закона сохранения энергии напомним о понятиях изолированной и неизолированной механических системах

Совокупность материальных точек (тел), рассматриваемых как единое целое, называется механической системой. Силы взаимодействия между материальными точками механической системы называются внутренними. Силы, с которыми на материальные точки системы действуют внешние тела, называются внешними. Механическая система тел, на которую не действуют внешние силы (они взаимно уравновешиваются), называется замкнутой или изолированной. В такой системе необходимо учитывать только силы взаимодействия между входящими в нее телами (внутренние силы). Строго говоря, изолированных механических систем в природе не существует.

Рассмотрим изолированную механическую систему, состоящую из n тел с массами m₁, m₂,…, m_n. Обозначим скорости этих тел через а внутреннюю силу, действующую на i-е тело со стороны k-го, - через .

На основании второго закона Ньютона можно составить следующую систему уравнений движения всех тел системы:

(3.5)

Складывая почленно эти уравнения и группируя силы и , получим:

. (3.6)

Согласно третьему закону Ньютона = - , поэтому все скобки в правой части этого уравнения равны нулю, т.е.

или . (3.7)

Векторная сумма

(3.8)

представляет собой импульс всей системы. Таким образом, или

(3.9)

Выражение (3.9) представляет собой закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы тел с течением времени не изменяется.

Закон сохранения импульса справедлив не только в классической механике; он выполняется и для замкнутых систем микрочастиц, т.е. действует и в квантовой механике. Другими словами, этот закон носит универсальный характер и является фундаментальным законом природы.

Закон сохранения импульса позволяет вычислять скорости тел, не зная значения сил, действующих на них и является всеобщим законом: он приме­ним как к телам обычных размеров, так и к космическим телам и эле­ментарным частицам. Очень наглядно и удобно описывать на основе закона сохранения импульса реактивное движение, упругие и неупругие столкновения тел, и другие механические явления происходящие в замкнутых системах.

В классической механике из-за независимости массы от скорости импульс системы можно выразить через скорость ее центра масс.

Скорость i-й материальной точки связана с ее радиусом-вектором соотношением:

Следовательно,

.

Центром масс или центром инерции системы материальных точек называется воображаемая тоска С, положение которой характеризует распределение массы этой системы. Ее радиус-вектор равен

где масса системы.

Скорость центра масс определяется выражением:

т.е.

. (3.10)

Другими словами, импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра инерции.

Подставив выражение (3.10) в (3.9), получим:

т.е. в изолированной механической системе центр масс находится в покое или движется равномерно и прямолинейно.

Если система незамкнутая (на нее действуют помимо внутренних и внешние силы), то выражение (3.9) с учетом (3.10) запишется следующим образом:

,

или

(3.11)

где ускорение центра масс.

Из (3.11) вытекает закон (теорема) движения центра масс: центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, приложенных к системе.