13.3 Тепловые машины, цикл Карно

Важным прикладным приложением термодинамики являются тепловые машины. Под тепловой машиной понимают устройство, преобразующее некоторую часть полученного количества теплоты в механическую работу. Механическая работа в тепловых двигателях производится в процессе расширения некоторого вещества, которое называется рабочим телом. В качестве рабочего тела обычно используются газообразные вещества (пары бензина, воздух, водяной пар).

Тепловые машины делят на два класса: машины одноразового действия (ракета, пушка и т.п.) и циклические машины (паровые машины, двигатели внутреннего сгорания).

Циклом называется процесс, начало и конец которого - совпадают. Примером циклического процесса является процесс, изображённый на рисунке 13.3. Работа цикла складывается из работы самой системы (участок abc) и работы над системой (участок cda).

Рисунок 13.3 – Круговой процесс на диаграмме (p, V). abc – кривая расширения, cda – кривая сжатия. Работа A в круговом процессе равна площади фигуры.

Работа цикла численно равна площади фигуры abcd. Газ совершает работу на участке abc за счёт полученного от нагревателя количества теплоты, а на участке cda над газом совершается работа внешними силами. Чтобы работа внешних сил была меньше работы газа, необходимо её совершать при более низкой температуре, а, следовательно, некоторое количество теплоты должно перейти от рабочего тела – газа - к менее нагретому телу – холодильнику. Энергетическая схема тепловой машины изображена на рисунке 13.4.

Утверждение о том, что для совершения полезной работы в циклической машине необходимо участие двух тел с различной температурой, называется принципом Карно.

Рисунок 13.4– Энергетическая схема тепловой машины: 1 – нагреватель;

2 – холодильник; 3 – рабочее тело. Q₁ > 0, A > 0, Q₂ < 0; T₁ > T₂.

Цикл, при помощи которого количество теплоты, отнятое от какого-нибудь тела, можно наилучшим образом преобразовать в механическую работу, называется циклом Карно. В качестве рабочего тела здесь выступает идеальный газ. Цикл Карно состоит из двух изотерм и двух адиабат (рисунок 13.5).

Рисунок 13.5– Схема цикла Карно

На участке 1-2 рабочее тело контактирует с нагревателем (телом с большой теплоёмкостью) и получает от него количество теплоты Q₁ . При этом реализуется изотермическое расширение газа (из-за большой теплоёмкости нагревателя его температура не изменяется). Это самый выгодный однократный процесс, при котором всё полученное количество теплоты переходит в механическую работу, согласно первому началу термодинамики:

(13.25)

Участок 2-3 соответствует адиабатному расширению идеального газа. На этом этапе разорван контакт с нагревателем и рабочее тело не обменивается количеством теплоты с другими телами. Это тоже выгодно, поскольку в этом случае газ совершает работу за счёт собственной внутренней энергии, вследствие чего она уменьшается, температура газа становится равной Т₂ . Согласно первому началу термодинамики,

(13.26)

На участке 3-4 рабочее тело приводится в тепловой контакт с холодильником, имеющим большую теплоёмкость и температуру Т₂. Здесь при более низкой температуре газ сжимают изотермически, совершая над ним работу, численно равную отданному холодильнику количеству теплоты, работа же самого газа, так же, как и отданное количество теплоты, отрицательна:

(13.27)

При более низкой температуре, когда внутренняя энергия меньше первоначальной, газ сжимать легче, поэтому работа А₃₄ меньше работы А₁₂. Изотермическое сжатие опять-таки является самым выгодным, поскольку не нужно изменять внутреннюю энергию газа, затрачивая на это дополнительную работу внешних сил. На последнем участке цикла Карно необходимо вернуть газ в первоначальное состояние наивыгоднейшим образом, то есть адиабатно сжать его. При адиабатном сжатии нет теплового контакта рабочего тела с холодильником, а работа внешних сил полностью идёт на увеличение внутренней энергии газа:

(13.28)

Полезная работа за цикл равна алгебраической сумме работ каждого участка цикла Карно: . Сравнение формул (13.25) и (13.28) позволяет заключить, что работа газа на участке 2-3 по величине равна работе газа на участке 4-1, но противоположна по знаку, следовательно, алгебраическая сумма работ на этих участках равна нулю, а работа за цикл будет определяться суммой работ участков 1-2 и 3-4:

(13.29)

Для дальнейшего преобразования полезной работы рассмотрим уравнения адиабаты на участках 2-3 и 4-1, записанные через объём и температуру: и . Поделим второе уравнение на первое и получим: или . Учитывая это равенство, можно вынести за скобки натуральный логарифм отношения объёмов в формуле (13.29) и получить выражение для полезной работы за цикл Карно:

(13.40)

Эффективность работы тепловых машин характеризуют коэффициентом полезного действия , определяемым как отношение полезной работы, произведённой за цикл, к количеству теплоты, полученному от нагревателя за цикл:

(13.41)

Подставим в эту формулу полезную работу, произведённую за цикл Карно, определяемую по формуле (13.40), и количество теплоты, полученное от нагревателя, определяемое по формуле (13.25), после преобразования получим выражение для расчёта коэффициента полезного действия (КПД) цикла Карно:

(13.42)

Эта формула пригодна только для расчёта КПД цикла Карно. КПД других циклов рассчитывают, используя общую формулу (13.41). В случае, когда имеется несколько нагревателей, можно рассчитать полученное количество теплоты, суммируя количества теплоты от каждого нагревателя, по формуле:

(13.43)