Обернена матриця

Для кожної невиродженої матриці існує обернена матриця . обернена до , якщо виконуються рівності: , де

де - алгебраїчне доповнення елемента .

Матричні рівняння

Нехай потрібно знайти матрицю , що задовольняє матричне рівняння , де - невироджена матриця.

Помноживши справа обидві частини рівняння на обернену матрицю , дістанемо:

Аналогічно

де - невироджена матриця.

Ранг матриці

Нехай задано матрицю розмірності . Виділимо в матриці будь-які рядків і стільки ж стовпців, де не більше чисел .

Визначник порядку , складений з елементів, що стоять на перетині виділених рядків і стовпців, називають мінором - го порядку матриці .

Рангом матриці називають найвищий порядок відмінного від нуля мінора цієї матриці і позначають або .

На практиці відшукання рангу ґрунтується на такому твердженні. Ранг матриці не зміниться, якщо над нею виконати елементарні перетворення:

1. переставити місцями два рядки (стовпці);

2. помножити кожен елемент рядка (стовпця) на ненульовий множник;

3. додати до елементів рядка (стовпця) елементи іншого рядка (стовпця), помножені на одне й те саме число.

Скориставшись елементарними перетвореннями, матрицю можна звести до вигляду, коли всі її елементи, крім , дорівнюють нулю. Тоді ранг матриці дорівнює . Якщо матрицю звести до верхньої трикутної або трапецевидної, то ранг матриці А дорівнює кількості ненульових рядків (див. приклад 5).

Приклади розв’язання типових задач

Приклад 4. Знайти добуток матриць , якщо

► - узгоджені.

Приклад 5. Знайти , якщо

►

◄

Приклад 6. Знайти обернену матрицю якщо

►

◄

Приклад 7. Розв’язати матричне рівняння

►

де

Знаходимо :

Нараз маємо

Отже, ◄

Приклад 8 Знайти ранг матриці:

► Виконавши елементарні перетворення, дістанемо:

~ ~

~ ~ ~

Видно, що визначник другого порядку не дорівнює нулю, а мінори третього та четвертого порядку рівні нулю (всі елементи рядка дорівнюють нулю). Або ранг А дорівнює кількості ненульових рядків.

Отже, .◄

Вправи для самостійної роботи

1. Знайти добуток матриць:

2. Знайти , якщо

3. Знайти обернену матрицю , якщо

4. Розв’язати матричне рівняння:

5. Знайти ранг матриці:

Відповіді:

1.

2.

3.

4.

5.

§3. Системи лінійних алгебраічних рівнянь Методи розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь (слар)

1. Метод Крамера

Нехай дано систему вигляду

(1)

де є R, – невідомі змінні.

Головна матриця системи

Визначник цієї матриці

(2)

Якщо , то система (1) має єдиний розв’язок, який можна знайти за формулами Крамера

де одержуємо відповідно заміною стовпчика коефіцієнтів при невідомому в (2) на стовпчик вільних членів.

Якщо , а принаймні один із визначників , то система (1) несумісна.

Якщо і всі дорівнюють нулю, то система (1) має безліч розв’язків.

Приклад 9. Розв’язати систему за формулами Крамера:

►

Відповідь: ◄

Зауважимо, що методом Крамера можна розв’язати систему, у якої кількість невідомих дорівнює кількості рівнянь і головний визначник .