§4. Криві другого порядку Основні теоретичні відомості

1. Рівняння кола із центром радіуса

2. Канонічне рівняння еліпса:

- осі еліпса, півосі еліпса.

- фокуси еліпса; - ексцентриситет еліпса; - фокальні радіуси еліпса, - фокальні радіуси, де - будь-яка точка еліпса); - директриси еліпса.

3. Канонічне рівняння гіперболи:

- вершини гіперболи; - фокуси гіперболи - асимптоти гіперболи;

- канонічне рівняння спряженої гіперболи, - фокуси, - вершини гіперболи );

Ексцентриситет гіперболи:

Фокальні радіуси точок правої гілки та відповідно лівої гілки гіперболи:

і

Директриси гіперболи

4. Канонічне рівняння параболи:

- фокус параболи, - рівняння директриси параболи, - фокальний радіус довільної точки параболи.

Для парабол, рівняння яких мають вигляд координати фокуса та рівняння директриси відповідно є:

Приклад 20. Знайти рівняння лінії центрів двох кіл: і

► Знайдемо координати центрів кіл:

звідки

звідки

Знайдемо рівняння лінії центрів звідки маємо: ◄

Приклад 21. Знайти рівняння кола, центр якого співпадає із початком координат і пряма є дотичною до кола.

► Радіусом кола буде відстань від центра до дотичної: і рівняння кола буде: ◄

Приклад 22. Дано еліпс Знайти 1) півосі, 2) фокуси, 3) ексцентриситет, 4) рівняння директрис.

► 1) Запишемо рівняння еліпса в канонічному вигляді: , звідки півосі 2) Із умови маємо ,тоді є фокусами еліпса.

3) 4) Рівняння директрис еліпса: ◄

Приклад 23. Дано гіперболу Знайти: 1) півосі і 2) фокуси, 3) ексцен-триситет, 4) рівняння асимптот, 5) рівняння директрис.

►1) Запишемо рівняння гіперболи в канонічному вигляді: , звідки

2)Використавши рівність , знайдемо отже, маємо: фокуси гіперболи. 3) 4) Асимптоти мають вигляд: 5) Рівняння директрис: тому ◄

Приклад 24. Визначити величину параметра , фокус і рівняння директриси наступних парабол: 1) 2) 3) 4)

► 1) , звідки , фокус , рівняння директриси: ;

2) , звідки , фокус , рівняння директриси: ;

3) , звідки , фокус , рівняння директриси: ;

4) , звідки , фокус , рівняння директриси: .◄

Приклад 25. Визначити тип кривої .

► Зведемо рівняння другого порядку до канонічного вигляду, виділивши повний квадрат відносно і :

Отже, отримали рівняння гіперболи, зміщеної вліво вздовж осі на 5 одиниць і вгору вздовж осі на 1, і півосі якої дорівнюють .◄

§5. Площина Основні теоретичні відомості

1. Рівняння площини, яка проходить через точку перпендикулярно до вектора нормалі : .

2. Загальне рівняння площини: .

3. Рівняння площини «у відрізках»: (площина, яка проходить через точки перетину з осями координат ).

4. Нормальне рівняння площини: ( - напрямні косинуси нормалі; - відстань від початку координат до площини).

5. Відхилення від точки до площини :

; (знак вибирається протилежним до знаку вільного члена загального рівняння площини).

6. Відстань від точки до площини :

; .

7. Рівняння площини, яка проходить через три задані точки , і :

.

8. Умова паралельності двох площин і :

; умова перпендикулярності двох площин: ; двогранний кут між двома площинами визначається співвідношенням:

.

Приклад 26. Скласти рівняння площини, яка проходить через точку і має вектор нормалі .

► Шукаємо рівняння площини у вигляді :

.◄

Приклад 27. Скласти рівняння площини, яка проходить через точку паралельно векторам і .

► Рівняння площини шукаємо у вигляді . Знайдемо координати нормалі до площини . Звідки , а рівняння площини має вигляд: або .◄

Приклад 28. Скласти рівняння площини, яка проходить через три точки

► Шукаємо рівняння площини у вигляді:

звідки або і остаточно: ◄

Приклад 29. Визначити двогранний кут , утворений перетином двох площин:

► Кут між площинами, які перетинаються, дорівнює куту між їх нормальними векторами, тому звідки .◄

Приклад 30. Обчислити об’єм піраміди, утвореної площиною і координатними площинами.

► Запишемо рівняння площини « у відрізках» ( поділимо праву і ліву частини рівняння на вільний член): Об’єм піраміди , де - це площа трикутника (основи піраміди), який відтинає задана площина від координатного кута , а - висота піраміди , відрізок, який відтинає площина від осі , тому об’єм буде дорівнювати: (куб. од.).◄

Приклад 31. Знайти відстань від точки до площини

► , отже точка належить даній площині.◄

Приклад 32. Визначити, при яких значеннях і рівняння

,

будуть визначати паралельні площини .

► Площини будуть паралельними, якщо буде виконана умова: , звідки - із перших двох рівностей, а із двох останніх рівностей маємо: і , отже площини паралельні при і .◄

Приклад 33. Знайти відстань між паралельними площинами

► Знайдемо будь-яку точку на площині нехай , тоді Точка належить . Відстань від точки до площини обчислюємо за формулою ◄

Приклад 34. Знайти відхилення від точки до площини

► Використаємо формулу ( знак вибирається протилежним до знаку вільного члена в рівнянні площини). , отже точка лежить на заданій площині. ◄