2. Матричний метод

СЛАР можна записати у вигляді:

де

Якщо і , то єдиний розв’язок системи можна знайти за формулою

Приклад 10. Розв’язати систему матричним методом:

►

◄

3. Метод Гаусса

Метод Гаусса використовують для розв’язання СЛАР довільного вигляду. Процес розв’язання за методом Гаусса складається з двох етапів. Перший етап (прямий хід) ґрунтується на елементарних перетвореннях рядків системи, а саме, система залишається рівносильною початковій системі, якщо:

1. переставити місцями два рівняння;

2. помножити обидві частини рівняння на ненульовий множник;

3. додати почленно до рівняння елементи іншого рівняння, помножені на одне й те саме число.

За допомогою таких перетворень СЛАР зводять до трапецевидного (або трикутного) вигляду:

(A)

На другому етапі (зворотний хід) послідовно визначають невідомі системи, рухаючись від останнього рівняння до першого.

Проаналізуємо систему (A), в якій - ранг основної матриці . Якщо , то система (A) набирає трикутного вигляду

Одержана система, отже, і початкова система, має єдиний розв’язок, який визначаємо так. Спочатку з останнього рівняння знайдемо , після цього з передостаннього рівняння знайдемо ; піднімаючись по системі від останнього рівняння до першого, знайдемо всі інші невідомі.

Якщо , то може бути два випадки:

1. хоча б одне з чисел не дорівнює нулю. Тоді система не має розв’язків, тобто несумісна;

2. усі числа рівні нулю. Тоді система має безліч розв’язків, тобто невизначена.

Оскільки СЛАР взаємно однозначно відповідає розширена матриця, то елементарні перетворення рівнянь системи рівносильні перетворенню рядків розширеної матриці. Тому при розв’язуванні СЛАР за методом Гаусса будемо працювати тільки з розширеною матрицею.

Критерій сумісності СЛАР

Нехай задано систему вигляду:

Складемо головну і розширену матриці цієї системи

Теорема Кронекера - Капеллі

Для того, щоб СЛАР була сумісна, необхідно і достатньо, щоб ранг головної матриці дорівнював рангу розширеної матриці .

Якщо ранг головної матриці дорівнює рангу розширеної матриці і дорівнює кількості невідомих, то система має єдиний розв’язок.

Якщо ранг головної матриці дорівнює рангу розширеної матриці, але менший від кількості невідомих, то система має безліч розв’язків.

Якщо , то система несумісна.

Приклад 11. Розв’язати систему за методом Гауса.

► Записуємо розширену матрицю системи і, виконуючи елементарні перетворення над рядками, зводимо її до ступінчатого вигляду:

~

~ ~

~ .

r(A) = r(B) = 4 = n (n – кількість невідомих) => система сумісна.

Останній рядок відповідає рівнянню

звідки

Далі записуємо рівняння:

Отже, розв’язок системи: ◄

Приклад 12.

►Розв’язання аналогічне завданню (1).

~ ~

~ ~ ~

r(A) = r(B) = 3 < n =4.

Задана система має безліч розв’язків. Рухаючись від останнього рівняння до першого, послідовно знаходимо:

Відповідь: ◄