Вправи для самостійної роботи

Розв’язати системи рівнянь:

1. 2.

Розв’язати системи рівнянь, використавши метод Гаусса:

3. , 4. , 5. .

Відповіді: 1. 2. 3. .

4. де 5.

§4. Власні числа та власні вектори матриці

Всякий ненульовий вектор-стовпець , що задовольняє умову , де - дійсне число, називають власним вектором матриці , а число - власним числом матриці , що відповідає вектору . Вектор визначається неоднозначно (з точністю до ненульового скалярного множника).

Власні числа матриці є коренями її характеристичного рівняння , яке (на прикладі матриці третього порядку) в розгорнутому вигляді є таким

Власний вектор , що відповідає власному числу , визначають із системи рівнянь

Приклад 13. Знайти власні числа і власні вектори матриці

► Розв’яжемо характеристичне рівняння:

, власний вектор , координати якого задовольняють систему

нехай тоді .

, власний вектор , координати якого задовольняють систему

нехай тоді .◄

Приклад 14. Знайти власні числа і власні вектори матриці

► Розв’яжемо характеристичне рівняння:

.

Отже, матриця має три власні числа. Знайдемо власні вектори, підставивши по черзі в систему

Власному числу відповідає власний вектор , координати якого задовольняють систему

Нехай тоді і тобто

Аналогічно знаходимо власні вектори

,

де - відмінні від нуля дійсні числа. ◄

Розділ 2. Аналітична геометрія

§1. Вектори Основні теоретичні відомості

1. Розклад вектора за ортами координатних осей:

де - це координати вектора (проекції вектора на координатні осі), а - це одиничні вектори координатних осей відповідно .

2. Якщо задані точки , то має місце розклад вектора

.

3. Довжина вектора задається формулою

.

4. Якщо і , то

5. Якщо і колінеарні, то .

6. Скалярний добуток двох ненульових векторів:

7. Якщо і , то .

8. Кут між векторами і

9. Умова перпендикулярності ненульових векторів і :

10. Проекція вектора на напрям вектора :

11. Напрямні косинуси вектора :

,

де - кути, які утворює вектор із осями координат відповідно.

Орт вектора :

12. Правило паралелограма додавання та віднімання векторів:

13. Векторний добуток векторів і : (якщо звести вектори до спільного початку, то із кінця вектора найкоротший оберт від вектора до вектора виглядає проти годинникової стрілки); ;

.

14. Площа паралелограма, побудованого на векторах і :

15. Мішаний добуток векторів , і :

16. Об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах , і :

17. Об’єм тетраедра, побудованого на векторах , і :

18. Умова компланарності ненульових векторів , і :

Приклад 1. Знайти: а) координати вектора ; б) довжину вектора ; в) орт вектора , якщо

► а)

б) в) .◄

Приклад 2. Задано трикутник координатами вершин . Знайти: а) скалярний добуток ; б) векторний добуток ; в) проекцію вектора на напрямок вектора ; г) площу трикутника .

►а) Знайдемо координати векторів Отже

б)

в)

г) При обчисленні скористались результатом пункту б).◄

Приклад 3. Задано вершини тетраедра Знайти довжину його висоти, проведеної із вершини .

► Висоту знайдемо із формули для об’єму тетраедра Звідси . Знайдемо координати векторів і : Об’єм тетраедра дорівнює

Знайдемо площу трикутника :

Тоді ◄

Приклад 4. Знайти кут між векторами і

► Звідки ◄

Приклад 5. Визначити, при яких значеннях і вектори і колінеарні.

► Якщо вектори колінеарні, то їх відповідні координати пропорційні: Звідси ◄

Приклад 6. Визначити, при якому значенні вектори і будуть взаємно перпендикулярні, якщо

► Якщо вектори взаємно перпендикулярні, то їх скалярний добуток дорівнює нулю:

Отже .◄

Приклад 7. Перевірити, чи є вектори компланарними.

► Знайдемо мішаний добуток векторів: .

Отже, вектори є компланарними. ◄