§2. Ділення відрізка у заданому відношенні Основні теоретичні відомості

1. Координати точки , яка поділяє відрізок ( ) у заданому відношенні обчислюються за формулами:

2. Координати середини відрізка

Приклад 8. Задано три вершини паралелограма Визначити четверту вершину , протилежну .

► Оскільки діагоналі паралелограма в точці перетину діляться навпіл, то знайдемо ці координати як середину відрізка :

Розглянемо діагональ Координати точок і відомі, отже, координати точки шукаємо із формул:

Звідки ◄

§3. Лінії першого порядку Основні теоретичні відомості

1. Загальне рівняння прямої на площині:

2. Рівняння прямої, яка проходить через точку із заданим кутовим коефіцієнтом , де - це кут нахилу прямої до осі :

,

де - це ордината точки перетину прямої з віссю .

3. Рівняння прямої, яка проходить через дві точки і :

.

4. Кут між двома прямими, які задані рівняннями і :

.

5. Умова паралельності двох прямих і : . Умова перпендикулярності двох прямих і : .

6. Дві прямі паралельні, якщо ; прямі співпадають, якщо ; прямі мають єдину спільну точку, якщо ; прямі перпендикулярні, якщо .

7. Рівняння прямої «у відрізках»: , де ; - це точки перетину прямої з осями і відповідно. Пряма паралельна осі має рівняння ; пряма паралельна осі має рівняння .

8. Нормальне рівняння прямої: , де - це полярний кут нормалі, проведеної із початку координат до прямої ; - це відстань від початку координат до прямої.

9. Відхилення ( ) точки від прямої, заданої нормальним рівнянням :

.

Якщо пряма задана загальним рівнянням , то

де знак вибираємо протилежним до знаку вільного члена .

10. Відстань від точки до прямої :

11. Рівняння пучка прямих із центром :

де - це прямі, що перетинаються у точці , а - це будь-які числа, які одночасно не дорівнюють нулю;

де

Приклад 9. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку під кутом до осі .

► Використаємо рівняння прямої . Звідси і остаточно .◄

Приклад 10. Скласти рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки і .

► Використаємо рівняння прямої виду . Звідси

◄

Приклад 11. Знайти кут , утворений двома прямими

► Знайдемо кутові коефіцієнти заданих прямих: Тоді ◄

Приклад 12. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку паралельно прямій

► Знайдемо кутовий коефіцієнт заданої прямої: Оскільки шукана пряма паралельна заданій, то їх кутові коефіцієнти співпадають: . Тому шукане рівняння має вигляд: .►

Приклад 13. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку перпендикулярно до прямої

► Будемо шукати рівняння у вигляді: . Знайдемо кутовий коефіцієнт заданої прямої: Використаємо умову перпендикулярності двох прямих: . Звідси і шукане рівняння має вигляд: ◄

Приклад 14. Визначити, при яких значеннях і дві прямі

1) паралельні; 2) співпадають; 3) перпендикулярні.

► 1) Прямі паралельні, якщо виконується умова: , звідки . Отже, прямі паралельні, якщо , або .

2) Прямі співпадають, якщо . Звідки , або .

3) Прямі перпендикулярні, якщо виконується умова: , звідки , а - довільне дійсне число. ◄

Приклад 15. Обчислити площу трикутника, утвореного координатними осями і прямою

► Знайдемо рівняння прямої «у відрізках»: . Тоді площа утвореного прямокутного трикутника дорівнює ◄

Приклад 16. Знайти відстань від точки до прямої .

► ◄

Приклад 17. Привести рівняння прямої до нормального вигляду.

► Знайдемо нормуючий множник: . Знак вибираємо протилежним до знаку вільного члена рівняння. Помножимо задане рівняння на і одержимо: ◄

Приклад 18. Знайти відхилення точки від прямої .

► Приведемо рівняння до нормального вигляду: Тому відхилення дорівнює ◄

Приклад 19. Знайти рівняння прямої, яка належить пучку прямих і 1) проходить через точку ; 2) перпендикулярна прямій

► 1) Нехай , тоді рівняння пучка можна подати у вигляді , де . Знайдемо із умови, що шукана пряма проходить через точку : , звідки . Підставимо це значення у рівняння пучка і одержимо шукане рівняння прямої .

2) Із рівняння пучка знайдемо кутовий коефіцієнт прямої, виражений через : . Кутовий коефіцієнт заданої прямої дорівнює . Із умови перпендикулярності маємо . Тому рівняння шуканої прямої має вигляд .◄