Розділ 3. Теорія границь
§1. Границя послідовності та границя функції в точці Основні теоретичні відомості
1. Перша
чудова границя: 
2. Різновиди першої чудової границі :
3. Друга чудова границя.
.
4. Типи
невизначеностей :
5. Типи
визначеностей :
якщо
,
якщо
.
6. При обчисленні границь корисні наступні формули еквівалентності:
1). 
;
2). 
3). 
4). 
5). 
6). 
7). 
8). 
9). 
7. При обчисленні границь інколи необхідно скористатись формулами:
Арифметична прогресія
Геометрична прогресія
8. При обчисленні границь, пов’язаних з тригонометричними функціями, корисно пригадати тригонометричні формули:
9. Правило
Лопіталя (розкриття невизначеностей
).
Нехай функції
і
є неперервні і диференційовані в околі
точки
,
причому
,
і нехай
,
або
,
тоді, якщо існує границя
,
то існує
,
причому
.
Приклад 1.
►
◄
Звернемо
увагу на три випадки:
якщо найвища степінь чисельника більша за найвищу степеня знаменника, тоді границя відношення дорівнює нескінченності (
).якщо найвища степінь чисельника менша за найвищу степінь знаменника, тоді границя відношення дорівнює 0.
якщо найвища степінь чисельника і знаменника одинакові, тоді границя дорівнює відношенню коефіцієнтів при цих степенях.
Для обчислення границь можна замінювати вирази на еквівалентні вирази.
Приклад 2.
►
.
◄
Приклад 3.
►
◄
Приклад 4.
►
◄
Приклад 5.
►
◄
Приклад 6.
►
◄
Приклад 7.
►
◄
Приклад 8.
►
◄
Приклад 9.
►
◄
Приклад 10.
►
◄
Приклад 11.
►
◄
Приклад 12.
◄
Приклад 13.
Приклад 14.
Приклад 15.
Приклад 16.
Приклад 17.
Приклад 18.
►
◄
Приклад 19.
прологарифмуємо
обидві частини
,
тоді
Приклад 20.
►
;
позначимо
,
прологарифмуємо,
,
тому
,
.◄
§2. Дослідження на неперервність функції Основні теоретичні відомості
Функція називається неперервною в точці , якщо
.
Якщо
якась із цих умов не виконується то
функція не є неперервною у точці
.
Якщо
і
є скінченні числа, а
не
існує або не співпадає з
чи
,
то у точці
функція має розрив першого роду, якщо
,
то функція має розрив першого роду, який
можна усунути (усувний розрив).
Якщо хоча б одна з границь є , то функція має розрив другого роду.
Приклад 1.
Функцію
дослідити на неперервність в точці
.
► Функція
не визначена в точці
,
тому дослідимо її на неперервність у
цій точці.
,
,
значить в точці
функція має розрив першого роду. ◄
Приклад
2.
Функцію
дослідити на неперервність в точці
.
►
,
в точці
розрив можна усунути, якщо визначити
.
◄
Приклад
3.
Функцію
дослідити на неперервність в точці
.
►
,
.
Отже в точці
функція має розрив другого роду.
Приклад
4.
► Дослідимо
функцію на неперервність в точці
.
Маємо:
,
,
значення
.
В точці
функція має розрив першого роду. ◄